ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 21 Номер 16 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Последовательность \((y_n)\) задана формулой n-го члена \(y_n = n^2 — 10n — 22\). Сколько членов этой последовательности меньше 17?

\(y_n = n^2 — 10n — 22\). Найдем, при каких натуральных значениях \(n\) выполняется неравенство:
\(n^2 — 10n — 22 < 17\)
\(n^2 — 10n — 22 — 17 < 0\)
\(n^2 — 10n — 39 < 0\).

Найдем корни квадратного трехчлена \(n^2 — 10n — 39\):
\(n^2 — 10n — 39 = 0\).

По теореме Виета:
\(n_1 + n_2 = 10\); \(n_1 n_2 = -39\);
\(n_1 = -3\), \(n_2 = 13\).

Изобразим схематично график функции \(y = n^2 — 10n — 39\) и отметим множество решений данного неравенства:

\(n\)
\(\emptyset \quad \circ \quad 3 \quad \bullet \quad 13 \quad \circ \rightarrow\)

Следовательно, \(n = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12\}\).

Ответ: 12 членов этой последовательности меньше 17.

Рассмотрим последовательность, заданную формулой \(y_n = n^2 — 10n — 22\). Задача состоит в том, чтобы определить, сколько членов этой последовательности меньше числа 17. Для этого сначала составим неравенство, отражающее условие: \(y_n < 17\). Подставляя выражение для \(y_n\), получаем \(n^2 — 10n — 22 < 17\). Чтобы привести неравенство к стандартному виду, перенесём 17 в левую часть: \(n^2 — 10n — 22 — 17 < 0\), что упрощается до \(n^2 — 10n — 39 < 0\). Теперь задача сводится к поиску тех значений \(n\), при которых квадратичный трёхчлен \(n^2 — 10n — 39\) принимает отрицательные значения.

Для решения неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения \(n^2 — 10n — 39 = 0\). По теореме Виета сумма корней равна коэффициенту при \(n\) с обратным знаком, а произведение равно свободному члену: \(n_1 + n_2 = 10\), \(n_1 n_2 = -39\). Решая это, находим корни: \(n_1 = -3\) и \(n_2 = 13\). Поскольку коэффициент при \(n^2\) положительный, график функции \(y = n^2 — 10n — 39\) представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Значения функции будут отрицательными между корнями, то есть на промежутке от \(-3\) до \(13\).

Поскольку \(n\) — натуральное число, нас интересуют только целые положительные значения \(n\), лежащие в интервале от 1 до 12 включительно. Таким образом, множество решений неравенства \(n^2 — 10n — 39 < 0\) в натуральных числах — это \(n = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12\}\). Следовательно, 12 членов последовательности \(y_n\) меньше 17.