ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 21 Номер 17 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Подберите одну из возможных формул n-го члена последовательности, первыми членами которой являются числа:
1) \( \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \ldots \) : \( a_n = \underline{\hspace{5cm}} \)
2) 7, 9, 11, 13, 15, \ldots : \( a_n = \underline{\hspace{5cm}} \)
3) -5, 10, -20, 40, -80, \ldots : \( a_n = \underline{\hspace{5cm}} \)
4) 0, 2, 6, 12, 20, \ldots : \( a_n = \underline{\hspace{5cm}} \)

1) \( a_n = \frac{1}{n+2} \);
2) \( a_n = 2n + 5 \);
3) \( a_n = 5 \cdot (-1)^n \cdot 2^{n-1} \);
4) \( a_n = n(n — 1) \).

1) Последовательность начинается с членов \(\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \ldots\). Видно, что знаменатель каждого члена увеличивается на 1 при переходе к следующему члену, начиная с 3. Если обозначить номер члена последовательности как \(n\), то знаменатель можно выразить как \(n + 2\). Следовательно, общий вид формулы для \(n\)-го члена будет \(a_n = \frac{1}{n+2}\). Эта формула точно описывает каждый член последовательности, так как при \(n=1\) получается \(\frac{1}{3}\), при \(n=2\) — \(\frac{1}{4}\), и так далее.

2) Во второй последовательности члены равны 7, 9, 11, 13, 15, \ldots. Здесь каждый следующий член увеличивается на 2 относительно предыдущего, что указывает на арифметическую прогрессию с разностью \(d=2\). Первый член равен 7, который можно представить как \(2 \cdot 1 + 5\). Проверим формулу \(a_n = 2n + 5\) для нескольких значений: при \(n=1\) получаем 7, при \(n=2\) — 9, при \(n=3\) — 11, что совпадает с заданными членами. Таким образом, формула \(a_n = 2n + 5\) полностью описывает эту арифметическую последовательность.

3) Третья последовательность: \(-5, 10, -20, 40, -80, \ldots\). Здесь члены меняют знак через один и по абсолютной величине удваиваются каждый раз. Это указывает на геометрическую прогрессию с множителем \(-2\) и первым членом \(-5\). Формула для общего члена геометрической прогрессии с первым членом \(a_1\) и знаменателем \(q\) — \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\). Подставляя \(a_1 = 5\), \(q = -2\), получаем \(a_n = 5 \cdot (-2)^{n-1}\). Чтобы учесть знак начального члена \(-5\), формулу записываем как \(a_n = 5 \cdot (-1)^n \cdot 2^{n-1}\), что соответствует знакам и значениям членов последовательности.

4) Четвёртая последовательность: \(0, 2, 6, 12, 20, \ldots\). Здесь числа растут неравномерно, но можно заметить, что каждый член равен произведению двух последовательных натуральных чисел: \(0 = 1 \cdot 0\), \(2 = 2 \cdot 1\), \(6 = 3 \cdot 2\), \(12 = 4 \cdot 3\), \(20 = 5 \cdot 4\). Значит, общий член можно выразить как \(a_n = n(n — 1)\). Проверим для \(n=1\): \(1 \cdot 0 = 0\), для \(n=2\): \(2 \cdot 1 = 2\), для \(n=3\): \(3 \cdot 2 = 6\), что совпадает с заданными членами последовательности. Эта формула полностью описывает последовательность.