ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 21 Номер 8 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Запишите пять первых членов последовательности \((a_n)\), заданной формулой n-го члена:
1) \(a_n = n — 5\):
2) \(a_n = 7 — 3n\):
3) \(a_n = \frac{n-3}{n+1}\):
4) \(a_n = (-1)^n (-1) n + 2n\):

Подставляем вместо \(n\) натуральные числа.
1) \(a_n = n — 5\): \(-4; -3; -2; -1; 0.\)
2) \(a_n = 7 — 3n\): \(4; 1; -2; -5; -8.\)
3) \(a_n = \frac{n-3}{n+1}\): \(-1; -\frac{1}{3}; 0; \frac{1}{5}; \frac{1}{3}.\)
4) \(a_n = (-1)^n + 2n\): \(1; 5; 5; 9; 9.\)

Для первого случая последовательность задана формулой \(a_n = n — 5\). Это означает, что для каждого натурального числа \(n\) нужно вычесть 5. Подставляя первые пять натуральных чисел: при \(n=1\) получается \(1 — 5 = -4\), при \(n=2\) — \(2 — 5 = -3\), при \(n=3\) — \(3 — 5 = -2\), при \(n=4\) — \(4 — 5 = -1\), при \(n=5\) — \(5 — 5 = 0\). Таким образом, первые пять членов последовательности — это \(-4; -3; -2; -1; 0\). Здесь видно, что последовательность является арифметической с разностью 1, так как каждый следующий член увеличивается на 1.

Во втором случае формула \(a_n = 7 — 3n\) задаёт последовательность, где к числу 7 вычитается тройное значение \(n\). При \(n=1\) значение будет \(7 — 3 \cdot 1 = 4\), при \(n=2\) — \(7 — 3 \cdot 2 = 1\), при \(n=3\) — \(7 — 3 \cdot 3 = -2\), при \(n=4\) — \(7 — 3 \cdot 4 = -5\), и при \(n=5\) — \(7 — 3 \cdot 5 = -8\). Пять первых членов последовательности: \(4; 1; -2; -5; -8\). Здесь последовательность убывает с шагом -3, что характерно для арифметической прогрессии с отрицательной разностью.

Третий пример задаёт последовательность с формулой \(a_n = \frac{n-3}{n+1}\). Подставляя значения: при \(n=1\) получаем \(\frac{1-3}{1+1} = \frac{-2}{2} = -1\), при \(n=2\) — \(\frac{2-3}{2+1} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}\), при \(n=3\) — \(\frac{3-3}{3+1} = \frac{0}{4} = 0\), при \(n=4\) — \(\frac{4-3}{4+1} = \frac{1}{5}\), при \(n=5\) — \(\frac{5-3}{5+1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). Получаем последовательность \(-1; -\frac{1}{3}; 0; \frac{1}{5}; \frac{1}{3}\). Эта последовательность не является арифметической, так как разность между членами меняется, а значения выражены дробями.

В четвёртом случае формула \(a_n = (-1)^n + 2n\) содержит степень с основанием -1, что означает чередование знаков, и линейный член \(2n\). При \(n=1\) имеем \((-1)^1 + 2 \cdot 1 = -1 + 2 = 1\), при \(n=2\) — \((-1)^2 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5\), при \(n=3\) — \((-1)^3 + 2 \cdot 3 = -1 + 6 = 5\), при \(n=4\) — \((-1)^4 + 2 \cdot 4 = 1 + 8 = 9\), при \(n=5\) — \((-1)^5 + 2 \cdot 5 = -1 + 10 = 9\). Пять первых членов: \(1; 5; 5; 9; 9\). Здесь видна закономерность: значения чередуются между двумя близкими числами, так как \((-1)^n\) меняет знак, а \(2n\) растёт линейно.

Таким образом, в каждом из четырёх случаев формулы задают разные типы последовательностей: арифметические с постоянной разностью, дробные с переменными значениями и чередующиеся с линейным ростом. Подстановка натуральных чисел \(n\) позволяет получить первые пять членов каждой последовательности, что даёт представление о её поведении и характере изменения значений.