ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 22 Номер 14 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Если значения выражений \(x^2 — 1\), \(x^2 + x + 2\) и \(6x + 2\) являются последовательными членами

Если значения выражений \(x^2 — 1\), \(x^2 + x + 2\) и \(6x + 2\) являются последовательными членами арифметической прогрессии, то должно выполняться равенство:
\(2(x^2 + x + 2) = (x^2 — 1) + (6x + 2)\).
Тогда:
\(2x^2 + 2x + 4 = x^2 — 1 + 6x + 2\)
\(2x^2 + 2x + 4 — x^2 + 1 — 6x — 2 = 0\)
\(x^2 — 4x + 3 = 0\).
Отсюда: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 3\).
Найдем члены этой прогрессии.
Если \(x = 1\):
\(x^2 — 1 = 1^2 — 1 = 0\);
\(x^2 + x + 2 = 1^2 + 1 + 2 = 4\);
\(6x + 2 = 6 \cdot 1 + 2 = 8\).
Если \(x = 3\):
\(x^2 — 1 = 3^2 — 1 = 8\);
\(x^2 + x + 2 = 3^2 + 3 + 2 = 14\);
\(6x + 2 = 6 \cdot 3 + 2 = 20\).

Ответ: при \(x = 1\): 0; 4; 8; при \(x = 3\): 8; 14; 20.

Если значения выражений \(x^2 — 1\), \(x^2 + x + 2\) и \(6x + 2\) являются последовательными членами арифметической прогрессии, то между ними существует постоянная разность. Арифметическая прогрессия — это такая последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя соседними членами постоянна. Для трех последовательных членов арифметической прогрессии \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) справедливо равенство \(2a_2 = a_1 + a_3\). В нашем случае \(a_1 = x^2 — 1\), \(a_2 = x^2 + x + 2\), \(a_3 = 6x + 2\). Подставляя эти выражения в формулу, получаем уравнение:
\(2(x^2 + x + 2) = (x^2 — 1) + (6x + 2)\).

Раскроем скобки и упростим уравнение. Левая часть равенства будет равна \(2x^2 + 2x + 4\). Правая часть равна \(x^2 — 1 + 6x + 2\), что после упрощения даёт \(x^2 + 6x + 1\). Приравнивая левую и правую части, получаем:
\(2x^2 + 2x + 4 = x^2 + 6x + 1\).
Переносим все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\(2x^2 + 2x + 4 — x^2 — 6x — 1 = 0\),
что упрощается до
\(x^2 — 4x + 3 = 0\).

Далее решаем квадратное уравнение \(x^2 — 4x + 3 = 0\). Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:
\(x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 — 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}\).
Отсюда получаем два корня:
\(x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1\) и \(x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3\).
Таким образом, уравнение имеет два решения \(x = 1\) и \(x = 3\).

Теперь подставим найденные значения \(x\) в исходные выражения, чтобы найти соответствующие члены арифметической прогрессии. При \(x = 1\):
\(x^2 — 1 = 1^2 — 1 = 0\),
\(x^2 + x + 2 = 1 + 1 + 2 = 4\),
\(6x + 2 = 6 \cdot 1 + 2 = 8\).
Последовательность при \(x = 1\) — это \(0; 4; 8\), и она действительно является арифметической прогрессией с разностью \(4\).

При \(x = 3\):
\(x^2 — 1 = 3^2 — 1 = 9 — 1 = 8\),
\(x^2 + x + 2 = 9 + 3 + 2 = 14\),
\(6x + 2 = 18 + 2 = 20\).
Последовательность при \(x = 3\) — это \(8; 14; 20\), которая также является арифметической прогрессией с разностью \(6\).

Итог: при \(x = 1\) члены арифметической прогрессии равны \(0; 4; 8\), а при \(x = 3\) — \(8; 14; 20\). Это подтверждает, что для данных значений \(x\) исходные выражения формируют арифметическую прогрессию.