ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 22 Номер 16 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что если числа \(a\), \(b\) и \(c\) являются последовательными членами арифметической прогрессии, то значения выражений \(a^2 + ab + b^2\), \(a^2 + ac + c^2\) и \(b^2 + bc + c^2\) также являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Так как \(a\), \(b\) и \(c\) – последовательные члены арифметической прогрессии, то \(b = a + d\), \(c = a + 2d\).
Если значения данных выражений являются последовательными членами арифметической прогрессии, то должно выполняться равенство:
\(2(a^2 + ac + c^2) = (a^2 + ab + b^2) + (b^2 + bc + c^2)\)
\(2a^2 + 2ac + 2c^2 = a^2 + ab + b^2 + b^2 + bc + c^2\)
\(2a^2 + 2ac + 2c^2 — a^2 — c^2 = 2b^2 + ab + bc\)
\(a^2 + 2ac + c^2 = 2b^2 + ab + bc\).
Подставим \(b = a + d\) и \(c = a + 2d\) в полученное равенство:
\(a^2 + 2a(a + 2d) + (a + 2d)^2 = 2(a + d)^2 + a(a + d) + (a + d)(a + 2d)\)
\(a^2 + 2a^2 + 4ad + a^2 + 4ad + 4d^2 =\)
\(= 2(a^2 + 2ad + d^2) + a^2 + ad + a^2 + 2ad + ad + 2d^2\)
\(4a^2 + 8ad + 4d^2 = 2a^2 + 4ad + 2d^2 + 2a^2 + 4ad + 2d^2\)
\(4a^2 + 8ad + 4d^2 = 4a^2 + 8ad + 4d^2\).
Так как равенство верно, то данные значения выражений также являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Что и требовалось доказать.

Пусть числа \(a\), \(b\) и \(c\) являются последовательными членами арифметической прогрессии. Это означает, что существует некоторое число \(d\), такое что \(b = a + d\), а \(c = a + 2d\). Здесь \(d\) — это разность прогрессии, которая постоянна для всех последовательных членов. Записав это, мы можем выразить \(b\) и \(c\) через \(a\) и \(d\), что позволит нам работать с выражениями, заданными в условии.

Теперь рассмотрим три выражения: \(a^2 + ab + b^2\), \(a^2 + ac + c^2\) и \(b^2 + bc + c^2\). Нам нужно доказать, что эти три выражения сами образуют арифметическую прогрессию. Для этого воспользуемся определением арифметической прогрессии: если три числа идут подряд в арифметической прогрессии, то удвоенное среднее равно сумме первого и третьего. То есть должно выполняться равенство
\(2 (a^2 + ac + c^2) = (a^2 + ab + b^2) + (b^2 + bc + c^2)\).
Раскроем скобки слева и справа, чтобы получить уравнение, которое можно будет проверить на истинность.

Раскроем левую часть:
\(2 (a^2 + ac + c^2) = 2a^2 + 2ac + 2c^2\).
Раскроем правую часть:
\((a^2 + ab + b^2) + (b^2 + bc + c^2) = a^2 + ab + b^2 + b^2 + bc + c^2 =\)
\(= a^2 + ab + 2b^2 + bc + c^2\).
Перенесём все члены в одно уравнение:
\(2a^2 + 2ac + 2c^2 = a^2 + ab + 2b^2 + bc + c^2\).
Вычтем \(a^2\) и \(c^2\) из обеих частей, чтобы упростить уравнение:
\(a^2 + 2ac + c^2 = 2b^2 + ab + bc\).

Теперь подставим выражения для \(b\) и \(c\) через \(a\) и \(d\):
\(b = a + d\),
\(c = a + 2d\).
Подставим их в уравнение:
\(a^2 + 2a(a + 2d) + (a + 2d)^2 = 2(a + d)^2 + a(a + d) + (a + d)(a + 2d)\).

Раскроем скобки и возведём в квадрат:
Левая часть:
\(a^2 + 2a^2 + 4ad + a^2 + 4ad + 4d^2 = 4a^2 + 8ad + 4d^2\).
Правая часть:
\(2(a^2 + 2ad + d^2) + a^2 + ad + a^2 + 2ad + ad + 2d^2 =\)
\(= 2a^2 + 4ad + 2d^2 + 2a^2 + 4ad + 2d^2 = 4a^2 + 8ad + 4d^2\).

Таким образом, левая и правая части равны, что доказывает истинность исходного равенства. Следовательно, выражения \(a^2 + ab + b^2\), \(a^2 + ac + c^2\) и \(b^2 + bc + c^2\) действительно образуют арифметическую прогрессию. Это соответствует определению арифметической прогрессии и завершает доказательство.