ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 23 Номер 1 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Заполните пропуски.
1) Если известны первый и п-й члены арифметической прогрессии \((a_n)\), то сумму п первых её членов можно найти по формуле \(S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\).
2) Если известны первый член и разность d арифметической прогрессии \((a_n)\), то сумму п первых её членов можно найти по формуле \(S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)\).

1) Если известны первый и n — й члены арифметической прогрессии \((a_n)\), то сумму n первых её членов можно найти по формуле \(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\).
2) Если известны первый член и разность \(d\) арифметической прогрессии \((a_n)\), то сумму n первых её членов можно найти по формуле \(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\).

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается прибавлением постоянной разности \(d\) к предыдущему члену. Если обозначить первый член прогрессии как \(a_1\), то любой её член \(a_n\) можно выразить через формулу \(a_n = a_1 + (n-1)d\). Одной из важных задач при работе с арифметической прогрессией является нахождение суммы первых \(n\) её членов, то есть суммы \(S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n\).

Если известны первый член \(a_1\) и \(n\)-й член \(a_n\), то сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии может быть найдена по формуле \(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\). Эта формула основана на том, что сумма первого и последнего члена равна сумме второго и предпоследнего, и так далее, то есть все пары членов в прогрессии дают одинаковую сумму. Умножив эту сумму на количество таких пар, мы получаем общую сумму. Поскольку количество членов \(n\) может быть как чётным, так и нечётным, формула учитывает среднее значение между первым и \(n\)-м членом, умноженное на количество членов.

Если же известен первый член \(a_1\) и разность \(d\), то \(n\)-й член можно выразить как \(a_n = a_1 + (n-1)d\). Подставляя это выражение в формулу суммы, получаем \(S_n = \frac{a_1 + a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n\), что упрощается до \(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\). Эта формула удобна, когда \(a_n\) неизвестен, но известна разность между членами прогрессии. Она позволяет быстро найти сумму первых \(n\) членов, используя только первый член и разность, без необходимости вычислять каждый член по отдельности.