ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 23 Номер 11 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите сумму всех трёхзначных чисел, кратных 13.

Трехзначные числа, кратные 13, образуют арифметическую прогрессию \((a_n)\) с разностью 13, первый член которой равен 104. Найдем, при каком наибольшем натуральном значении \(n\) верно неравенство \(a_n < 1000\).
Имеем:
\(104 + 13(n — 1) < 1000\)
\(13(n — 1) < 1000 — 104\)
\(13(n — 1) < 896\)
\(n — 1 < \frac{896}{13}\)
\(n — 1 < 68 \frac{12}{13}\)
\(n < 69 \frac{12}{13}\).

Следовательно, прогрессия \((a_n)\) содержит 69 членов.
\(S_{69} = \frac{104 + 13 \cdot (69 — 1)}{2} \cdot 69 = \frac{208 + 13 \cdot 68}{2} \cdot 69 = \frac{208 + 884}{2} \cdot 69 = \frac{1092}{2} \cdot 69 = 546 \cdot 69 =\)
\(= 37\,674.\)

Ответ: \(S_{69} = 37\,674.\)

Трехзначные числа, которые делятся на 13 без остатка, образуют последовательность, где каждый следующий член отличается от предыдущего на 13. Такая последовательность называется арифметической прогрессией. Первый член этой прогрессии равен 104, так как 104 — это первое трехзначное число, кратное 13. Разность прогрессии, обозначаемая \(d\), равна 13, потому что каждое следующее число получается прибавлением 13 к предыдущему. Обозначим члены прогрессии через \(a_n\), где \(n\) — номер члена. Тогда формула для \(n\)-го члена арифметической прогрессии записывается так: \(a_n = 104 + 13(n — 1)\).

Задача состоит в том, чтобы найти, сколько всего трехзначных чисел кратных 13 существует, то есть найти максимальное значение \(n\), при котором \(a_n\) меньше 1000. Для этого составим неравенство \(a_n < 1000\), подставив формулу для \(a_n\), получим: \(104 + 13(n — 1) < 1000\). Вычтем 104 из обеих частей неравенства: \(13(n — 1) < 896\). Теперь разделим обе части неравенства на 13: \(n — 1 < \frac{896}{13}\). Делим 896 на 13 и получаем приблизительно \(68 \frac{12}{13}\), то есть \(n — 1 < 68 \frac{12}{13}\). Прибавим 1 к обеим частям: \(n < 69 \frac{12}{13}\). Поскольку \(n\) — натуральное число, оно не может быть дробным, значит, максимальное целое значение \(n\) равно 69. Это значит, что в прогрессии 69 членов, каждый из которых — трехзначное число, кратное 13.

Чтобы найти сумму всех этих чисел, используем формулу суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\). Здесь \(a_1 = 104\), а \(a_{69} = 104 + 13 \cdot (69 — 1) = 104 + 13 \cdot 68 = 104 + 884 = 988\). Подставим эти значения в формулу суммы: \(S_{69} = \frac{104 + 988}{2} \cdot 69 = \frac{1092}{2} \cdot 69 = 546 \cdot 69\). Перемножив, получаем \(37\,674\). Это и есть сумма всех трехзначных чисел, кратных 13. Таким образом, мы нашли количество таких чисел и их сумму, используя свойства арифметической прогрессии и простые алгебраические преобразования.