ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 23 Номер 12 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 15, которые больше 80 и меньше 235.

Натуральные числа, кратные 15, образуют арифметическую прогрессию \((a_n)\) с разностью 15. Наименьшее натуральное число, которое кратно 15 и больше 80, равно 90. Следовательно, \(a_1 = 90\).
Найдём, при каком наибольшем натуральном значении \(n\) верно неравенство \(a_n < 235\).
Имеем:
\(90 + 15(n — 1) < 235\)
\(15(n — 1) < 235 — 90\)
\(15(n — 1) < 145\)
\(n — 1 < \frac{145}{15}\)
\(n — 1 < 9 \frac{10}{15}\)
\(n — 1 < 9 \frac{2}{3}\)
\(n < 10 \frac{2}{3}\).
Следовательно, прогрессия \((a_n)\) содержит 10 членов.
\(S_{10} = \frac{2 \cdot 90 + 15 \cdot (10 — 1)}{2} \cdot 10 = \frac{180 + 15 \cdot 9}{2} \cdot 10 = \frac{180 + 135}{2} \cdot 10 = 315 \cdot 5 = 1575.\)
Ответ: \(S_{10} = 1575.\)

Натуральные числа, кратные 15, образуют арифметическую прогрессию, поскольку каждое следующее число получается прибавлением постоянного числа 15 к предыдущему. Это означает, что если первое число прогрессии обозначить как \(a_1\), то каждое последующее число \(a_n\) можно представить формулой \(a_n = a_1 + 15(n — 1)\), где \(n\) — номер члена прогрессии. В данном случае нам нужно рассмотреть числа, кратные 15, которые больше 80 и меньше 235. Первое такое число — это 90, потому что 90 делится на 15 без остатка и превышает 80. Значит, \(a_1 = 90\).

Далее необходимо определить, сколько таких чисел содержится в промежутке от 90 до 235. Для этого нужно найти максимальное \(n\), при котором \(a_n < 235\). Подставим формулу для \(a_n\): \(90 + 15(n — 1) < 235\). Вычтем 90 из обеих частей неравенства: \(15(n — 1) < 145\). Разделим обе части на 15: \(n — 1 < \frac{145}{15}\). Вычислим дробь: \(\frac{145}{15} = 9 \frac{10}{15} = 9 \frac{2}{3}\). Значит, \(n — 1 < 9 \frac{2}{3}\), откуда \(n < 10 \frac{2}{3}\). Поскольку \(n\) — натуральное число, максимальное целое значение \(n\) будет равно 10. Таким образом, прогрессия содержит 10 членов.

Теперь нужно найти сумму этих 10 членов арифметической прогрессии. Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии выглядит так: \(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\), где \(a_n\) — последний член прогрессии. Найдём \(a_{10}\): \(a_{10} = 90 + 15(10 — 1) = 90 + 15 \cdot 9 = 90 + 135 = 225\). Подставим значения в формулу суммы: \(S_{10} = \frac{90 + 225}{2} \cdot 10 = \frac{315}{2} \cdot 10 = 1575\). Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 15, которые больше 80 и меньше 235, равна 1575.