ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 23 Номер 13 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и меньших 250.

Натуральные числа, кратные 3, образуют арифметическую прогрессию \((a_n)\) с разностью 3. Наименьшее натуральное число, которое кратно 3, равно 3. Следовательно, \(a_1 = 3\). Найдем, при каком наибольшем натуральном значении \(n\) верно неравенство \(a_n < 250\).

Имеем:
\(3 + 3(n — 1) < 250\)
\(3(n — 1) < 250 — 3\)
\(3(n — 1) < 247\)
\(n — 1 < \frac{247}{3}\)
\(n — 1 < 82 \frac{1}{3}\)
\(n < 83 \frac{1}{3}\).

Следовательно, прогрессия \((a_n)\) содержит 83 члена.
\(S_{83} = \frac{3 + 3 \cdot (83 — 1)}{2} \cdot 83 = \frac{6 + 3 \cdot 82}{2} \cdot 83 = \frac{6 + 246}{2} \cdot 83 = \frac{252}{2} \cdot 83 = 126 \cdot 83 = 10\,458.\)

Ответ: \(S_{83} = 10\,458.\)

Натуральные числа, кратные 3, образуют арифметическую прогрессию, то есть последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается прибавлением постоянного числа к предыдущему. В данном случае разность прогрессии равна 3, так как каждое следующее число, кратное 3, больше предыдущего ровно на 3. Первый член этой прогрессии — это наименьшее натуральное число, кратное 3, а именно 3. Таким образом, первый член прогрессии равен \(a_1 = 3\), а разность прогрессии \(d = 3\).

Для того чтобы найти сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и меньших 250, нам нужно определить, сколько таких чисел существует. Если обозначить количество членов прогрессии за \(n\), то \(n\)-й член прогрессии выражается формулой \(a_n = a_1 + (n — 1)d\). Подставляя известные значения, получаем \(a_n = 3 + 3(n — 1)\). Нам нужно, чтобы последний член прогрессии был меньше 250, то есть \(a_n < 250\). Подставим выражение для \(a_n\): \(3 + 3(n — 1) < 250\). Вычтем 3 из обеих частей неравенства: \(3(n — 1) < 247\). Разделим обе части на 3: \(n — 1 < \frac{247}{3}\). Вычисляя дробь, получаем \(n — 1 < 82 \frac{1}{3}\), значит \(n < 83 \frac{1}{3}\). Поскольку \(n\) — натуральное число, оно не может быть дробным, следовательно, максимальное целое значение \(n\) равно 83. Таким образом, в прогрессии 83 члена.

Теперь, зная количество членов прогрессии, можно найти сумму всех этих членов. Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии имеет вид \(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\). Подставим наши значения: \(a_1 = 3\), \(n = 83\), \(a_n = 3 + 3(83 — 1) = 3 + 3 \cdot 82 = 3 + 246 = 249\). Тогда сумма равна \(S_{83} = \frac{3 + 249}{2} \cdot 83 = \frac{252}{2} \cdot 83 = 126 \cdot 83\). Умножая, получаем \(126 \cdot 83 = 10\,458\). Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 3 и меньших 250, равна \(10\,458\).