ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 23 Номер 15 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Фигура, изображённая на рисунке, составлена из правильных треугольников так, что в верхнем ряду находится один треугольник, а в каждом следующем ряду на 2 треугольника больше, чем в предыдущем. Сколько рядов будет содержать такая фигура, если для её составления использовать 225 треугольников?

Имеем: \(a_1 = 1, d = 2\).
Пусть \(n\) — искомое количество рядов.
Используя формулу \(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\), получаем уравнение:
\(\frac{2 \cdot 1 + 2(n-1)}{2} \cdot n = 225 \quad | \cdot 2\)
\((2 + 2(n-1)) n = 450\)
\((2 + 2n — 2) n = 450\)
\(2n^2 = 450\)
\(n^2 = 225\)
\(n = 15 \rightarrow\) рядов будет содержать такая фигура.
Ответ: 15 рядов.

Для решения задачи сначала нужно понять, как устроена фигура и как считать количество треугольников в каждом ряду. В условии сказано, что в верхнем ряду находится один треугольник, а в каждом следующем ряду на 2 треугольника больше, чем в предыдущем. Значит, количество треугольников в рядах образует арифметическую прогрессию, где первый член равен \(a_1 = 1\), а разность \(d = 2\). Это значит, что второй ряд содержит \(1 + 2 = 3\) треугольника, третий — \(3 + 2 = 5\) треугольников и так далее.

Далее необходимо найти общее количество треугольников во всей фигуре, если известно, что их всего 225. Общее количество треугольников — это сумма всех членов арифметической прогрессии от первого до \(n\)-го ряда. Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии выглядит так: \(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\). Здесь \(S_n\) — сумма треугольников в первых \(n\) рядах, \(a_1\) — первый член прогрессии, \(d\) — разность, \(n\) — количество рядов.

Подставим известные значения в формулу: \(a_1 = 1\), \(d = 2\), \(S_n = 225\). Получим уравнение: \(\frac{2 \cdot 1 + 2(n-1)}{2} \cdot n = 225\). Умножив обе части на 2, избавимся от знаменателя: \((2 + 2(n-1)) \cdot n = 450\). Раскроем скобки: \((2 + 2n — 2) \cdot n = 450\), что упрощается до \(2n \cdot n = 450\), или \(2n^2 = 450\). Разделив обе части на 2, получаем \(n^2 = 225\). Извлекая корень, находим \(n = 15\). Это значит, что фигура состоит из 15 рядов треугольников.