ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 23 Номер 16 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Какое наибольшее количество последовательных натуральных чисел, начиная с 1, можно сложить, чтобы получившаяся сумма была меньше 595?

Последовательные натуральные числа образуют арифметическую прогрессию \((a_n)\), первый член которой \(a_1 = 1\), разность \(d = 1\).
Пусть \(n\) — искомое количество чисел.
\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n = \frac{2 + n — 1}{2} \cdot n = \frac{n(n+1)}{2}\).
Следовательно, задача сводится к нахождению наибольшего натурального решения неравенства:
\(\frac{n(n+1)}{2} < 595 \quad | \cdot 2\)
\(n(n+1) < 1190\)
\(n^2 + n — 1190 < 0\).
Найдём корни квадратного трёхчлена \(n^2 + n — 1190\):
\(n^2 + n — 1190 = 0\)
\(D = 1 + 4 \cdot 1190 = 1 + 4760 = 4761\).
\(n_1 = \frac{-1 — 69}{2} = \frac{-70}{2} = -35\);
\(n_2 = \frac{-1 + 69}{2} = \frac{68}{2} = 34\).
Изобразим схематично график функции \(y = n^2 + n — 1190\) и отметим множество решений данного неравенства:

Наибольшее количество последовательных натуральных чисел равно 33.
Ответ: 33 числа.

Последовательные натуральные числа — это числа, которые идут друг за другом без пропусков, начиная с 1: 1, 2, 3, 4 и так далее. Такие числа образуют арифметическую прогрессию, в которой каждый следующий член равен предыдущему плюс постоянная разность. В данном случае первый член прогрессии равен \(a_1 = 1\), а разность между соседними членами равна \(d = 1\). Это значит, что каждый следующий член увеличивается ровно на 1. Если мы хотим сложить первые \(n\) таких чисел, то сумма этих чисел будет равна сумме арифметической прогрессии с заданными параметрами.

Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии имеет вид \(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\). Подставляя сюда наши значения \(a_1 = 1\) и \(d = 1\), получаем \(S_n = \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot (n-1)}{2} \cdot n = \frac{2 + n — 1}{2} \cdot n = \frac{n(n+1)}{2}\). Таким образом, сумма первых \(n\) натуральных чисел равна \(\frac{n(n+1)}{2}\). Теперь нам нужно найти максимальное число \(n\), при котором эта сумма будет меньше 595, то есть решить неравенство \(\frac{n(n+1)}{2} < 595\).

Умножая обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от дроби, получаем \(n(n+1) < 1190\). Раскроем скобки: \(n^2 + n < 1190\), или \(n^2 + n — 1190 < 0\). Это квадратное неравенство, которое можно решить, найдя корни соответствующего квадратного уравнения \(n^2 + n — 1190 = 0\). Для этого вычислим дискриминант: \(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1190) = 1 + 4760 = 4761\). Корни уравнения находятся по формуле \(n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(a=1\), \(b=1\). Подставляя, получаем два корня: \(n_1 = \frac{-1 — 69}{2} = -35\) и \(n_2 = \frac{-1 + 69}{2} = 34\).

Поскольку \(n\) — количество натуральных чисел, оно должно быть положительным, поэтому отрицательный корень \(n_1 = -35\) не подходит. Квадратное неравенство \(n^2 + n — 1190 < 0\) выполняется для значений \(n\) между корнями, то есть для \( -35 < n < 34\). Из этого промежутка интересуют только натуральные числа от 1 до 33 включительно. Значит, максимальное количество последовательных натуральных чисел, сумма которых меньше 595, равно 33. Если взять 34 числа, сумма превысит 595. Ответ: 33 числа.