ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 23 Номер 17 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Какое наименьшее количество последовательных чётных натуральных чисел, начиная с 2, можно сложить, чтобы получившаяся сумма была больше 342?

Последовательные натуральные числа образуют арифметическую прогрессию \((a_n)\), первый член которой \(a_1 = 2\), разность \(d = 2\).
Пусть \(n\) — искомое количество чисел.
\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n = \frac{2 \cdot 2 + 2(n-1)}{2} \cdot n = \frac{2 \cdot (2 + n — 1) \cdot n}{2} = n(n + 1).\)
Следовательно, задача сводится к нахождению наименьшего натурального решения неравенства:
\(n(n+1) > 342\)
\(n^2 + n — 342 = 0.\)
Найдём корни квадратного трёхчлена \(n^2 + n — 342\):
\(n^2 + n — 342 = 0\)
\(D = 1 + 4 \cdot 342 = 1 + 1368 = 1369.\)
\(n_1 = \frac{-1 — 37}{2} = \frac{-38}{2} = -19;\)
\(n_2 = \frac{-1 + 37}{2} = \frac{36}{2} = 18.\)
Изобразим схематично график функции \(y = n^2 + n — 342\) и отметим множество решений данного неравенства:

Наименьшее количество последовательных чётных натуральных чисел равно 19.
Ответ: 19 чисел.

Последовательные чётные натуральные числа начинаются с 2 и продолжаются с постоянным шагом, равным 2. Это значит, что каждое следующее число на 2 больше предыдущего. Такие числа образуют арифметическую прогрессию, где первый член равен \(a_1 = 2\), а разность прогрессии \(d = 2\). В задаче требуется найти наименьшее количество таких чисел, сумма которых превышает 342. Для этого обозначим количество чисел через \(n\).

Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле \(S_n = \frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} \cdot n\). Подставляя значения \(a_1 = 2\) и \(d = 2\), получаем \(S_n = \frac{2 \cdot 2 + 2(n — 1)}{2} \cdot n\). Упростим выражение: \(2 \cdot 2 = 4\), значит, числитель дроби равен \(4 + 2(n — 1) = 4 + 2n — 2 = 2 + 2n\). Тогда сумма равна \(S_n = \frac{2 + 2n}{2} \cdot n = (1 + n) \cdot n = n(n + 1)\). Таким образом, сумма первых \(n\) чётных чисел равна произведению \(n\) на \(n + 1\).

Задача сводится к поиску минимального натурального числа \(n\), при котором сумма \(n(n + 1)\) больше 342, то есть решению неравенства \(n(n + 1) > 342\). Раскроем скобки: \(n^2 + n > 342\), что эквивалентно квадратному неравенству \(n^2 + n — 342 > 0\). Для нахождения границ решения сначала решим уравнение \(n^2 + n — 342 = 0\). Вычислим дискриминант \(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-342) = 1 + 1368 = 1369\). Корни уравнения находятся по формуле \(n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = 1\). Тогда \(n_1 = \frac{-1 — 37}{2} = -19\) и \(n_2 = \frac{-1 + 37}{2} = 18\).

Так как \(n\) — количество чисел и должно быть натуральным, отрицательный корень \(n_1 = -19\) не подходит. Квадратное выражение \(n^2 + n — 342\) положительно вне интервала между корнями, то есть для \(n < -19\) и для \(n > 18\). Поскольку \(n\) натуральное, нас интересует область \(n > 18\). Следовательно, минимальное целое число \(n\), при котором сумма первых \(n\) чётных чисел превышает 342, равно 19. Таким образом, для получения суммы, большей 342, нужно сложить не менее 19 последовательных чётных натуральных чисел, начиная с 2.