ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 23 Номер 18 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 20, а сумма первых одиннадцати членов равна -88. Найдите первый член и разность прогрессии.

Пусть \(a_1\) — первый член данной прогрессии, \(d\) — её разность. Тогда можем записать систему уравнений:
\[
\frac{2a_1 + d(5 — 1)}{2} \cdot 5 = 20
\]
\[
\frac{2a_1 + d(11 — 1)}{2} \cdot 11 = -88
\]

\[
\begin{cases}
(2a_1 + 4d) \cdot 5 = 40 \\
(2a_1 + 10d) \cdot 11 = -176
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
2a_1 + 4d = 8 \\
2a_1 + 10d = -16
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
5 — 6d = 24 \\
2a_1 + 4d = 8
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
d = -4 \\
2a_1 = 8 — 4d
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
d = -4 \\
a_1 = 12
\end{cases}
\]

Ответ: \(a_1 = 12; \quad d = -4.\)

Пусть \(a_1\) — первый член арифметической прогрессии, а \(d\) — её разность, то есть постоянное число, на которое увеличивается каждый следующий член прогрессии относительно предыдущего. Из условия задачи известно, что сумма первых пяти членов равна 20, а сумма первых одиннадцати членов равна -88. Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии выражается формулой \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n — 1)d)\). Подставляя \(n = 5\), получаем уравнение для суммы первых пяти членов: \(S_5 = \frac{5}{2} \cdot (2a_1 + 4d) = 20\). Аналогично, для одиннадцати членов: \(S_{11} = \frac{11}{2} \cdot (2a_1 + 10d) = -88\).

Далее упростим оба уравнения. Умножая обе части первого уравнения на 2, получим \(5 \cdot (2a_1 + 4d) = 40\), или \(2a_1 + 4d = \frac{40}{5} = 8\). Аналогично, для второго уравнения: \(11 \cdot (2a_1 + 10d) = -176\), откуда \(2a_1 + 10d = \frac{-176}{11} = -16\). Таким образом, мы получили систему линейных уравнений с двумя неизвестными:
\[
\begin{cases}
2a_1 + 4d = 8 \\
2a_1 + 10d = -16
\end{cases}
\]

Чтобы найти \(a_1\) и \(d\), вычтем первое уравнение из второго: \((2a_1 + 10d) — (2a_1 + 4d) = -16 — 8\), что даёт \(6d = -24\), откуда \(d = \frac{-24}{6} = -4\). Подставим это значение в первое уравнение: \(2a_1 + 4 \cdot (-4) = 8\), то есть \(2a_1 — 16 = 8\), откуда \(2a_1 = 24\), а значит \(a_1 = 12\). Таким образом, первый член прогрессии равен 12, а разность равна -4.

Проверим полученные значения. Сумма первых пяти членов: \(S_5 = \frac{5}{2} \cdot (2 \cdot 12 + 4 \cdot (-4)) = \frac{5}{2} \cdot (24 — 16) = \frac{5}{2} \cdot 8 = 20\), что совпадает с условием. Сумма первых одиннадцати членов: \(S_{11} = \frac{11}{2} \cdot (2 \cdot 12 + 10 \cdot (-4)) = \frac{11}{2} \cdot (24 — 40) = \frac{11}{2} \cdot (-16) = -88\), что также соответствует условию. Ответ: \(a_1 = 12\), \(d = -4\).