ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 23 Номер 19 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите сумму двадцати четырёх первых членов арифметической прогрессии \((a_n)\), если \(a_7 + a_9 + a_{15} + a_{19} = 39\).

Пусть \(d\) — разность данной прогрессии. Тогда:
\(S_{24} = \frac{2a_1 + 23d}{2} \cdot 24 = 12(2a_1 + 23d)\).

Имеем:
\(a_7 + a_9 + a_{15} + a_{19} = a_1 + 6d + a_1 + 8d + a_1 + 14d + a_1 + 18d =\)
\(= 4a_1 + 46d = 2(2a_1 + 23d) = 39\).

Тогда:
\(2a_1 + 23d = \frac{39}{2}\)
\(2a_1 + 23d = 19{,}5\).

Следовательно:
\(S_{24} = 12(2a_1 + 23d) = 12 \cdot 19{,}5 = 234\).

Ответ: \(S_{24} = 234\).

В арифметической прогрессии каждый следующий член получается прибавлением постоянной разности \(d\) к предыдущему члену. Обозначим первый член прогрессии как \(a_1\). Тогда любой член прогрессии с номером \(n\) можно выразить формулой \(a_n = a_1 + (n — 1)d\). В задаче нам дано, что сумма четырёх членов прогрессии с номерами 7, 9, 15 и 19 равна 39, то есть \(a_7 + a_9 + a_{15} + a_{19} = 39\).

Подставим формулы для этих членов: \(a_7 = a_1 + 6d\), \(a_9 = a_1 + 8d\), \(a_{15} = a_1 + 14d\), \(a_{19} = a_1 + 18d\). Сложим их:
\(a_7 + a_9 + a_{15} + a_{19} = (a_1 + 6d) + (a_1 + 8d) + (a_1 + 14d) + (a_1 + 18d)\).
Сгруппируем:
\(= 4a_1 + (6 + 8 + 14 + 18)d = 4a_1 + 46d\).
По условию это равно 39, значит:
\(4a_1 + 46d = 39\).
Разделим обе части уравнения на 2, чтобы получить более удобное выражение:
\(2a_1 + 23d = \frac{39}{2} = 19{,}5\).

Для нахождения суммы первых 24 членов арифметической прогрессии используется формула:
\(S_{24} = \frac{24}{2} (2a_1 + (24 — 1)d) = 12(2a_1 + 23d)\).
Мы уже нашли, что \(2a_1 + 23d = 19{,}5\), значит подставим это в формулу:
\(S_{24} = 12 \cdot 19{,}5 = 234\).

Таким образом, сумма первых двадцати четырёх членов прогрессии равна 234. В решении мы использовали свойства арифметической прогрессии, выразили заданные члены через первый член и разность, составили уравнение по условию, нашли выражение для суммы и подставили найденное значение, чтобы получить итоговый ответ.