ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 23 Номер 20 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите сумму тридцати пяти первых членов арифметической прогрессии, если её восемнадцатый член равен 14.

Пусть \(d\) – разность данной прогрессии. Тогда:
\(S_{35} = \frac{2a_1 + 34d}{2} \cdot 35 = \frac{2(a_1 + 17d)}{2} \cdot 35 = 35(a_1 + 17d)\).
Имеем:
\(a_{18} = a_1 + 17d\), значит \(a_1 + 17d = 14\).
Тогда:
\(S_{35} = 35(a_1 + 17d) = 35 \cdot 14 = 490\).
Ответ: \(S_{35} = 490\).

Рассмотрим арифметическую прогрессию, у которой первый член обозначен как \(a_1\), а разность прогрессии обозначим через \(d\). По определению арифметической прогрессии каждый следующий член получается добавлением разности \(d\) к предыдущему. Таким образом, любой член прогрессии можно выразить формулой \(a_n = a_1 + (n-1)d\). В нашем случае дано, что восемнадцатый член равен 14, то есть \(a_{18} = 14\). Подставляя в формулу, получаем: \(a_1 + 17d = 14\). Эта формула позволяет связать первый член и разность прогрессии.

Для нахождения суммы первых 35 членов прогрессии воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)\). Подставляя \(n = 35\), получим \(S_{35} = \frac{35}{2} (2a_1 + 34d)\). Можно преобразовать выражение внутри скобок: \(2a_1 + 34d = 2(a_1 + 17d)\). Таким образом, сумма первых 35 членов равна \(S_{35} = \frac{35}{2} \cdot 2(a_1 + 17d) = 35(a_1 + 17d)\).

Так как мы уже знаем, что \(a_1 + 17d = 14\), то подставим это значение в формулу суммы: \(S_{35} = 35 \cdot 14 = 490\). Таким образом, сумма первых 35 членов арифметической прогрессии равна 490. Это решение основано на свойствах арифметической прогрессии и использовании данных из условия задачи. Итоговый ответ: \(S_{35} = 490\).