ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 23 Номер 5 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Чему равна сумма тридцати первых членов арифметической прогрессии \((x_n)\), если \(x_5 = -0,8\), \(x_{11} = -5\)?

Выразим \(x_{11}\) через \(x_5\) и разность \(d\) прогрессии: \(x_{11} = x_5 + 6d\). Тогда:
\(-5 = -0,8 + 6d\)
\(6d = -5 + 0,8\)
\(6d = -4,2\)
\(d = -0,7\).
Имеем:
\(x_1 = x_5 — 4d = -0,8 — 4 \cdot (-0,7) = -0,8 + 2,8 = 2\).
Сумма тридцати первых членов арифметической прогрессии равна:
\(S_{30} = \frac{x_1 + d(30-1)}{2} \cdot 30 = \frac{2 \cdot 2 + (-0,7) \cdot 29}{2} \cdot 30 = (4 — 20,3) \cdot 15 = -16,3 \cdot 15 = -244,5\).
Ответ: \(-244,5\).

Для решения задачи сначала воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии. Известно, что любой член прогрессии можно выразить через первый член и разность прогрессии, а также через другой член и разность. В данной задаче нам даны значения \(x_5 = -0,8\) и \(x_{11} = -5\). Используя формулу для \(x_{11}\), запишем: \(x_{11} = x_5 + 6d\), где \(d\) — разность прогрессии. Подставим известные значения: \(-5 = -0,8 + 6d\). Чтобы найти \(d\), перенесём \(-0,8\) вправо: \(6d = -5 + 0,8\), что даёт \(6d = -4,2\). Теперь найдём \(d\), разделив обе части на 6: \(d = -0,7\). Таким образом, разность прогрессии равна \(-0,7\).

Следующий шаг — найти первый член прогрессии \(x_1\). Для этого используем формулу \(x_1 = x_5 — 4d\), так как \(x_5\) находится на четвёртом шаге от \(x_1\) (пятый член — это первый плюс четыре шага разности). Подставим известные значения: \(x_1 = -0,8 — 4 \cdot (-0,7)\). Умножение даёт \(x_1 = -0,8 + 2,8 = 2\). Таким образом, первый член прогрессии равен 2. Это важно, так как для вычисления суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии нам нужен первый член и разность.

Теперь вычислим сумму тридцати первых членов прогрессии \(S_{30}\). Формула суммы \(n\) первых членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{2x_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\). Подставим наши данные: \(S_{30} = \frac{2 \cdot 2 + (-0,7)(30 — 1)}{2} \cdot 30\). Вычислим сначала числитель дроби: \(2 \cdot 2 = 4\), а \(30 — 1 = 29\), значит \(4 + (-0,7) \cdot 29 = 4 — 20,3 = -16,3\). Теперь поделим на 2: \(\frac{-16,3}{2} = -8,15\). Умножим на 30: \(-8,15 \cdot 30 = -244,5\). Таким образом, сумма тридцати первых членов арифметической прогрессии равна \(-244,5\).