ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 23 Номер 7 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Разность арифметической прогрессии \((a_n)\) равна \(-3\), а сумма пяти первых членов равна 10. Найдите первый член прогрессии.

Используя формулу \(S_n = \frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} \cdot n\), получаем уравнение:
\(\frac{2a_1 — 3 \cdot 4}{2} \cdot 5 = 10 \quad | \cdot 2\)
\((2a_1 — 12) \cdot 5 = 20\)
\(2a_1 — 12 = \frac{20}{5}\)
\(2a_1 — 12 = 4\)
\(2a_1 = 4 + 12\)
\(2a_1 = 16\)
\(a_1 = \frac{16}{2}\)
\(a_1 = 8\).
Ответ: \(a_1 = 8\).

Для решения задачи нам дана арифметическая прогрессия с разностью \(d = -3\) и известно, что сумма первых пяти членов равна 10. Нам нужно найти первый член прогрессии \(a_1\). Напомним, что сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле \(S_n = \frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} \cdot n\). В нашем случае \(n = 5\), \(d = -3\), а \(S_5 = 10\).

Подставим известные значения в формулу суммы: \(S_5 = \frac{2a_1 + (-3)(5 — 1)}{2} \cdot 5 = 10\). Упростим выражение внутри скобок: \(5 — 1 = 4\), значит, \(2a_1 + (-3) \cdot 4 = 2a_1 — 12\). Подставляем это обратно: \(\frac{2a_1 — 12}{2} \cdot 5 = 10\). Далее умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя: \((2a_1 — 12) \cdot 5 = 20\).

Теперь у нас линейное уравнение: \(5 \cdot 2a_1 — 5 \cdot 12 = 20\), что даёт \(10a_1 — 60 = 20\). Переносим \(-60\) вправо: \(10a_1 = 20 + 60\), то есть \(10a_1 = 80\). Делим обе части на 10, чтобы найти \(a_1\): \(a_1 = \frac{80}{10} = 8\). Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен 8.

Проверим полученный результат, подставив \(a_1 = 8\) и \(d = -3\) в формулу суммы. Члены прогрессии: \(a_1 = 8\), \(a_2 = 8 — 3 = 5\), \(a_3 = 5 — 3 = 2\), \(a_4 = 2 — 3 = -1\), \(a_5 = -1 — 3 = -4\). Сумма пяти членов: \(8 + 5 + 2 + (-1) + (-4) = 10\), что совпадает с условием задачи. Следовательно, решение верно.