ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 24 Номер 10 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Число 144 является членом геометрической прогрессии 1/54, 1/9, … . Найдите номер этого члена.

Найдем знаменатель данной прогрессии: \(q = \frac{1}{9} : \frac{1}{54} = \frac{1}{9} \cdot \frac{54}{1} = 6\).

Пусть \(n\) — искомый номер члена.

Используя формулу \(b_n = b_1 q^{n-1}\) запишем уравнение:

\(144 = \frac{1}{54} \cdot 6^{n-1}\)

\(6^{n-1} = 144 : \frac{1}{54}\)

\(6^{n-1} = 144 \cdot 54\)

\(6^{n-1} = 7776\)

\(6^5 = 7776\)

\(n — 1 = 5\)

\(n = 6\) — номер этого члена.

Ответ: 6.

Для начала найдем знаменатель геометрической прогрессии, который обозначается буквой \(q\). Из условия известно, что прогрессия содержит члены с определенными значениями, и нам даны два последовательных члена: \(\frac{1}{9}\) и \(\frac{1}{54}\). Знаменатель прогрессии находится как отношение второго члена к первому, то есть \(q = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{54}} = \frac{1}{9} \cdot \frac{54}{1} = 6\). Таким образом, каждый следующий член прогрессии получается умножением предыдущего на число 6. Это ключевой момент, который позволяет нам двигаться дальше в решении задачи.

Далее обозначим искомый номер члена прогрессии как \(n\). Известно, что формула для \(n\)-го члена геометрической прогрессии выражается через первый член \(b_1\) и знаменатель \(q\) следующим образом: \(b_n = b_1 q^{n-1}\). В нашей задаче первый член \(b_1\) равен \(\frac{1}{54}\), а \(b_n\) равен 144. Подставим эти значения в формулу: \(144 = \frac{1}{54} \cdot 6^{n-1}\). Теперь нам нужно найти \(n\), то есть решить уравнение относительно показателя степени.

Для этого сначала избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на 54: \(6^{n-1} = 144 \cdot 54\). Выполним умножение: \(144 \cdot 54 = 7776\), значит \(6^{n-1} = 7776\). Теперь определим, чему равна степень числа 6, дающая 7776. Известно, что \(6^5 = 7776\), следовательно, \(n-1 = 5\), откуда \(n = 6\). Это означает, что искомый член прогрессии под номером 6 равен 144. Ответ: 6.