ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 24 Номер 12 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Какие четыре числа надо вставить между числами 4/9 и 108, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

Число \(\frac{4}{9}\) является первым членом искомой прогрессии, число 108 — шестым членом.
Пусть \(q\) — знаменатель данной прогрессии.
Выразим \(b_6\) через \(b_1\) и \(q\): \(b_6 = b_1 q^5\).
Тогда:
\(108 = \frac{4}{9} q^5\)
\(q^5 = 108 : \frac{4}{9}\)
\(q^5 = 108 \cdot \frac{9}{4}\)
\(q^5 = 243\)
\(q = 3\).
Таким образом:
\(b_2 = b_1 q = \frac{4}{9} \cdot 3 = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}\);
\(b_3 = b_2 q = \frac{4}{3} \cdot 3 = 4\);
\(b_4 = b_3 q = 4 \cdot 3 = 12\);
\(b_5 = b_4 q = 12 \cdot 3 = 36\).
Ответ: \(1 \frac{1}{3}; 4; 12; 36\).

Число \(\frac{4}{9}\) дано как первый член геометрической прогрессии, а число 108 — как шестой член. Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянный множитель, называемый знаменателем прогрессии и обозначаемый \(q\). В нашем случае нужно найти этот знаменатель \(q\), а затем вычислить остальные члены прогрессии между первым и шестым.

Обозначим первый член прогрессии как \(b_1 = \frac{4}{9}\). Тогда шестой член \(b_6\) можно выразить через первый член и знаменатель \(q\) по формуле \(b_6 = b_1 q^5\), так как для геометрической прогрессии \(n\)-й член равен первому члену, умноженному на \(q\) в степени \(n-1\). Подставляем известные значения: \(108 = \frac{4}{9} q^5\). Чтобы найти \(q^5\), нужно обе части уравнения умножить на обратное значение первого члена, то есть разделить 108 на \(\frac{4}{9}\). Деление на дробь эквивалентно умножению на её обратную, поэтому получаем \(q^5 = 108 \cdot \frac{9}{4}\).

Выполним вычисления: \(108 \cdot \frac{9}{4} = \frac{108 \cdot 9}{4} = \frac{972}{4} = 243\). Таким образом, \(q^5 = 243\). Теперь нужно найти \(q\), то есть пятый корень из 243. Известно, что \(3^5 = 243\), значит \(q = 3\). Это знаменатель нашей прогрессии.

Теперь можно найти остальные члены прогрессии, используя формулу \(b_n = b_1 q^{n-1}\). Второй член: \(b_2 = b_1 q = \frac{4}{9} \cdot 3 = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}\). Третий член: \(b_3 = b_2 q = \frac{4}{3} \cdot 3 = 4\). Четвёртый член: \(b_4 = b_3 q = 4 \cdot 3 = 12\). Пятый член: \(b_5 = b_4 q = 12 \cdot 3 = 36\). Таким образом, последовательность прогрессии от первого до шестого члена выглядит как \(\frac{4}{9}; 1 \frac{1}{3}; 4; 12; 36; 108\).

Ответ: \(1 \frac{1}{3}; 4; 12; 36\).