Рабочая тетрадь по алгебре для 9 класса под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полонского — это практическое учебное пособие, полностью соответствующее Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС). Она разработана для систематизации и закрепления знаний, полученных на уроках алгебры, и помогает школьникам глубже понять основные математические понятия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 24 Номер 14 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы
Дано: \( b_2 + b_3 = 30 \), \( b_4 — b_2 = 90 \).
Пусть \( q \) — знаменатель прогрессии, \( b_1 \) — первый член. Запишем систему:
\( b_1 q + b_1 q^2 = 30 \), \( b_1 q^3 — b_1 q = 90 \).
Разделим уравнения почленно:
\( \frac{30}{1+q} = \frac{90}{q^2 — 1} \).
Решаем квадратное уравнение \( q^2 — 3q — 4 = 0 \), получаем \( q = 4 \) (отрицательное значение не подходит).
Вычисляем \( b_1 = \frac{30}{4(1+4)} = 1.5 \).
Ответ: \( b_1 = 1.5 \), \( q = 4 \).
—
Дано: \( b_6 — b_3 = 215 \), \( b_6 + b_5 + b_4 = 258 \).
Запишем систему:
\( b_1 q^5 — b_1 q^2 = 215 \), \( b_1 q^5 + b_1 q^4 + b_1 q^3 = 258 \).
Поделим почленно:
\( \frac{215}{q^3 — 1} = \frac{258}{q^3 + q^2 + q} \).
Решаем уравнение \( 43 q = 258 \), получаем \( q = 6 \).
Вычисляем \( b_1 = \frac{215}{36 (6^3 — 1)} = \frac{1}{36} \).
Ответ: \( b_1 = \frac{1}{36} \), \( q = 6 \).
1) \( b_2 + b_3 = 30 \) и \( b_4 — b_2 = 90 \).
Пусть \( q \) — знаменатель данной прогрессии. С учетом условия запишем систему двух уравнений с переменными \( b_1 \) и \( q \):
\[
\begin{cases}
b_1 q + b_1 q^2 = 30 \\
b_1 q^3 — b_1 q = 90
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
b_1 q (1 + q) = 30 \\
b_1 q (q^2 — 1) = 90
\end{cases}
\]
Поделим почленно левые и правые части уравнений системы:
\[
\begin{cases}
b_1 q = \frac{30}{1 + q} \\
b_1 q = \frac{90}{q^2 — 1}
\end{cases}
\]
Получаем уравнение:
\[
\frac{30}{1 + q} = \frac{90}{q^2 — 1}, \quad q \neq \pm 1
\]
\[
90 (1 + q) = 30 (q^2 — 1)
\]
\[
3 (1 + q) = q^2 — 1
\]
\[
3 + 3q = q^2 — 1
\]
\[
q^2 — 3q — 4 = 0
\]
Отсюда: \( q_1 = -1 \) — не подходит, \( q_2 = 4 \).
Таким образом:
\[
b_1 \cdot 4 = \frac{30}{1 + 4}
\]
\[
4 b_1 = \frac{30}{5} = 6
\]
\[
b_1 = \frac{6}{4} = 1.5
\]
Ответ: \( b_1 = 1.5; \quad q = 4 \).
2) \( b_6 — b_3 = 215 \) и \( b_6 + b_5 + b_4 = 258 \).
Пусть \( q \) — знаменатель данной прогрессии. С учетом условия запишем систему двух уравнений с переменными \( b_1 \) и \( q \):
\[
\begin{cases}
b_1 q^5 — b_1 q^2 = 215 \\
b_1 q^5 + b_1 q^4 + b_1 q^3 = 258
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
b_1 q^2 (q^3 — 1) = 215 \\
b_1 q^2 (q^3 + q^2 + q) = 258
\end{cases}
\]
Поделим почленно левые и правые части уравнений системы:
\[
\begin{cases}
b_1 q^2 = \frac{215}{q^3 — 1} \\
b_1 q^2 = \frac{258}{q^3 + q^2 + q}
\end{cases}
\]
Получаем уравнение:
\[
\frac{215}{q^3 — 1} = \frac{258}{q^3 + q^2 + q}, \quad q \neq 0, q \neq 1
\]
\[
\frac{215}{(q — 1)(q^2 + q + 1)} = \frac{258}{q (q^2 + q + 1)}
\]
\[
215 q = 258 (q — 1)
\]
\[
215 q = 258 q — 258
\]
\[
258 q — 215 q = 258
\]
\[
43 q = 258
\]
\[
q = \frac{258}{43} = 6
\]
Таким образом:
\[
b_1 \cdot 6^2 = \frac{215}{6^3 — 1}
\]
\[
36 b_1 = \frac{215}{215} = 1
\]
\[
b_1 = \frac{1}{36}
\]
Ответ: \( b_1 = \frac{1}{36}; \quad q = 6 \).
