ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 24 Номер 16 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 24. Если к этим числам прибавить соответственно 2, 4 и 8, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите данные числа.

Обозначим искомые числа \(a_1, a_2\) и \(a_3\).
По условию \(a_1 + a_2 + a_3 = 24\).
Поскольку числа \(a_1, a_2\) и \(a_3\) образуют арифметическую прогрессию, то \(2a_2 = a_1 + a_3\).
Можем записать систему уравнений:
\(
\begin{cases}
a_1 + a_2 + a_3 = 24 \\
2a_2 = a_1 + a_3
\end{cases}
\)
\(
\begin{cases}
3a_2 = 24 \\
2a_2 = a_1 + a_3
\end{cases}
\quad
\Rightarrow
\quad
\begin{cases}
a_2 = 8 \\
a_1 + a_3 = 16
\end{cases}
\)

Поскольку числа \((a_1 + 2), (a_2 + 4)\) и \((a_3 + 8)\) образуют геометрическую прогрессию, то \((a_2 + 4)^2 = (a_1 + 2)(a_3 + 8)\).

Подставим \(a_2 = 8\) в полученное уравнение и преобразуем его:
\((8 + 4)^2 = (a_1 + 2)(a_3 + 8)\)
\(12^2 = a_1 a_3 + 8a_1 + 2a_3 + 16\)
\(144 = a_1 a_3 + 8a_1 + 2a_3 + 16\).

Подставим \(a_1 = 16 — a_3\) в полученное уравнение и преобразуем его:
\(
144 = (16 — a_3)a_3 + 8(16 — a_3) + 2a_3 + 16
\)
\(
144 = 16a_3 — a_3^2 + 128 — 8a_3 + 2a_3 + 16
\)
\(
144 = -a_3^2 + 10a_3 + 144
\)
\(
-a_3^2 + 10a_3 + 144 — 144 = 0
\)
\(
-a_3^2 + 10a_3 = 0
\)
\(
a_3^2 — 10a_3 = 0
\)
\(
a_3(a_3 — 10) = 0
\)
\(a_3 = 0\) или \(a_3 = 10\).

Если \(a_3 = 0\), то \(a_1 = 16 — 0 = 16\).
Если \(a_3 = 10\), то \(a_1 = 16 — 10 = 6\).

Таким образом, арифметическая прогрессия: \(16, 8, 0\) или \(6, 8, 10\).
Геометрическая прогрессия: \(18, 12, 8\) или \(8, 12, 18\).

Ответ: арифметическая прогрессия: \(16, 8, 0\) или \(6, 8, 10\);
геометрическая прогрессия: \(18, 12, 8\) или \(8, 12, 18\)

Пусть три числа арифметической прогрессии обозначим как \(a_1, a_2, a_3\). Из условия задачи известно, что сумма этих чисел равна 24, то есть \(a_1 + a_2 + a_3 = 24\). Это первое уравнение, которое связывает три неизвестных. Далее, поскольку числа образуют арифметическую прогрессию, они удовлетворяют свойству, что средний член равен среднему арифметическому двух крайних, то есть \(2a_2 = a_1 + a_3\). Это второе уравнение системы, которое позволяет выразить один из членов через другие. Из этих двух уравнений можно получить выражение для среднего члена и сумму крайних. Сложим первое уравнение и подставим второе: \(a_1 + a_2 + a_3 = 24\) и \(a_1 + a_3 = 2a_2\), тогда \(2a_2 + a_2 = 24\), откуда \(3a_2 = 24\), следовательно, \(a_2 = 8\). Подставляя обратно, получаем, что сумма крайних членов равна \(a_1 + a_3 = 16\).

Далее, условие, что числа \(a_1 + 2\), \(a_2 + 4\), \(a_3 + 8\) образуют геометрическую прогрессию, дает нам важное соотношение. В геометрической прогрессии квадрат среднего члена равен произведению крайних, то есть \((a_2 + 4)^2 = (a_1 + 2)(a_3 + 8)\). Подставляя найденное значение \(a_2 = 8\), получаем \(12^2 = (a_1 + 2)(a_3 + 8)\), или \(144 = a_1 a_3 + 8a_1 + 2a_3 + 16\). Это уравнение связывает два неизвестных \(a_1\) и \(a_3\), которые мы уже знаем, что связаны суммой \(a_1 + a_3 = 16\). Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, которую можно решить, подставив одно выражение в другое.

Подставим \(a_1 = 16 — a_3\) в уравнение геометрической прогрессии:
\(144 = (16 — a_3) a_3 + 8(16 — a_3) + 2a_3 + 16\).
Раскроем скобки и упростим:
\(144 = 16a_3 — a_3^2 + 128 — 8a_3 + 2a_3 + 16\),
что сводится к
\(144 = -a_3^2 + 10a_3 + 144\).
Вычитая 144 из обеих частей, получаем
\(0 = -a_3^2 + 10a_3\), или \(a_3^2 — 10a_3 = 0\).
Решая это уравнение, выделим общий множитель: \(a_3(a_3 — 10) = 0\), значит \(a_3 = 0\) или \(a_3 = 10\).

Рассмотрим оба случая. Если \(a_3 = 0\), тогда \(a_1 = 16 — 0 = 16\), и арифметическая прогрессия будет \(16, 8, 0\). Если \(a_3 = 10\), тогда \(a_1 = 16 — 10 = 6\), и арифметическая прогрессия будет \(6, 8, 10\). Для каждого случая проверим геометрическую прогрессию:
— При \(a_3 = 0\), последовательность \(a_1 + 2, a_2 + 4, a_3 + 8\) равна \(18, 12, 8\). Проверяем: \(12^2 = 144\), а \(18 \times 8 = 144\), условие выполнено.
— При \(a_3 = 10\), последовательность равна \(8, 12, 18\). Проверяем: \(12^2 = 144\), а \(8 \times 18 = 144\), условие также выполнено.

Таким образом, мы нашли два набора чисел, удовлетворяющих всем условиям задачи.