ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 24 Номер 4 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Первый член геометрической прогрессии \((b_n)\) равен \(\frac{2}{125}\), а знаменатель \(q\) равен 5. Найдите указанные члены прогрессии.
\(b_3 = b_1 q^2; \quad b_6.\)

\( b_3 = b_1 q^2 = \frac{2}{125} \cdot 5^2 = \frac{2}{125} \cdot 25 = \frac{2}{5} = 0,4; \quad b_6 = b_1 q^5 = \frac{2}{125} \cdot 5^5=\)
\( = \frac{2}{5^3} \cdot 5^5 = 2 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50. \)

Рассмотрим подробнее вычисление членов последовательности \(b_3\) и \(b_6\), заданной формулой \(b_n = b_1 q^{n-1}\), где \(b_1 = \frac{2}{125}\) и \(q = 5\). Для нахождения \(b_3\) подставляем \(n=3\) в формулу, получаем \(b_3 = b_1 q^{3-1} = b_1 q^2\). Это значит, что мы возводим знаменатель прогрессии \(q\) в степень 2 и умножаем на первый член \(b_1\). Подставляя значения, получаем \(b_3 = \frac{2}{125} \cdot 5^2\). Поскольку \(5^2 = 25\), произведение становится \(b_3 = \frac{2}{125} \cdot 25\).

Далее упрощаем выражение \(\frac{2}{125} \cdot 25\). Заметим, что 125 можно представить как \(5^3\), то есть \(125 = 5^3\). Тогда выражение принимает вид \(b_3 = \frac{2}{5^3} \cdot 5^2\). При умножении степеней с одинаковым основанием происходит сложение показателей, но здесь знаменатель и числитель, поэтому можно сократить \(5^2\) в числителе с \(5^3\) в знаменателе, получая \(b_3 = \frac{2}{5^{3-2}} = \frac{2}{5}\). Таким образом, значение \(b_3\) равно \(\frac{2}{5}\), что в десятичном виде составляет 0,4.

Теперь рассмотрим вычисление \(b_6\). Подставляем \(n=6\) в формулу, получаем \(b_6 = b_1 q^{6-1} = b_1 q^5\). Подставляя известные значения, получаем \(b_6 = \frac{2}{125} \cdot 5^5\). Аналогично предыдущему случаю, представляем 125 как \(5^3\), тогда \(b_6 = \frac{2}{5^3} \cdot 5^5\). При умножении степеней с одинаковым основанием в дроби сокращаем \(5^3\) в знаменателе с частью \(5^5\) в числителе, оставляя \(5^{5-3} = 5^2\). Итоговое выражение становится \(b_6 = 2 \cdot 5^2\). Поскольку \(5^2 = 25\), получаем \(b_6 = 2 \cdot 25 = 50\). Таким образом, \(b_6\) равно 50.