ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 24 Номер 6 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Даны два члена геометрической прогрессии. Впишите в пропуски три предшествующих им и три следующих за ним члена этой прогрессии.
___, ___, ____, 12, 36, ____, ____, ____.

Имеем: \( b_4 = 12 \) и \( b_5 = 36 \).
Знаменатель \( q \) геометрической прогрессии равен:
\( q = \frac{b_5}{b_4} = \frac{36}{12} = 3 \).
Тогда:
\( b_3 = \frac{12}{3} = 4 \);
\( b_2 = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3} \);
\( b_1 = \frac{1 \frac{1}{3}}{3} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{9} \);
\( b_6 = 36 \cdot 3 = 108 \);
\( b_7 = 108 \cdot 3 = 324 \);
\( b_8 = 324 \cdot 3 = 972 \).

Ответ: \( \frac{4}{9} ; 1 \frac{1}{3} ; 4 ; 12 ; 36 ; 108 ; 324 ; 972 \).

Дано, что четвёртый член геометрической прогрессии равен \( b_4 = 12 \), а пятый член равен \( b_5 = 36 \). Геометрическая прогрессия строится так, что каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянный множитель, который называется знаменателем прогрессии и обозначается \( q \). Чтобы найти этот знаменатель, нужно разделить пятый член на четвёртый, то есть вычислить \( q = \frac{b_5}{b_4} \). Подставляя известные значения, получаем \( q = \frac{36}{12} = 3 \). Это означает, что каждый следующий член прогрессии в три раза больше предыдущего.

Теперь, зная знаменатель \( q = 3 \), можно найти все остальные члены прогрессии, как предыдущие, так и последующие. Для этого используем формулу \( b_n = b_m \cdot q^{n-m} \), где \( b_m \) — известный член, а \( n \) — номер нужного члена. Например, чтобы найти третий член \( b_3 \), который находится перед четвёртым, нужно поделить \( b_4 \) на \( q \), то есть \( b_3 = \frac{b_4}{q} = \frac{12}{3} = 4 \). Аналогично второй член \( b_2 \) равен \( b_2 = \frac{b_3}{q} = \frac{4}{3} \), что можно записать как дробь \( \frac{4}{3} \) или смешанное число \( 1 \frac{1}{3} \). Для нахождения первого члена \( b_1 \) делим второй член на \( q \): \( b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{\frac{4}{3}}{3} = \frac{4}{9} \).

Для вычисления следующих членов прогрессии используем умножение на \( q \). Шестой член \( b_6 \) равен \( b_6 = b_5 \cdot q = 36 \cdot 3 = 108 \). Седьмой член \( b_7 = b_6 \cdot q = 108 \cdot 3 = 324 \). Восьмой член \( b_8 = b_7 \cdot q = 324 \cdot 3 = 972 \). Таким образом, все восемь членов прогрессии: \( b_1 = \frac{4}{9} \), \( b_2 = \frac{4}{3} \), \( b_3 = 4 \), \( b_4 = 12 \), \( b_5 = 36 \), \( b_6 = 108 \), \( b_7 = 324 \), \( b_8 = 972 \).