ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 24 Номер 8 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите знаменатель и первый член геометрической прогрессии (x_n), если x_4 = 12, х_7 = 324.

Пусть \( q \) – знаменатель данной прогрессии.
Выразим \( x_7 \) через \( x_4 \) и \( q \): \( x_7 = x_4 q^3 \).
Тогда:
\( 324 = 12 q^3 \)
\( q^3 = \frac{324}{12} \)
\( q^3 = 27 \)
\( q = 3 \).

Выразим \( x_7 \) через \( x_1 \) и \( q \): \( x_7 = x_1 q^6 \).
Тогда:
\( 324 = x_1 \cdot 3^6 \)
\( 324 = x_1 \cdot 729 \)
\( x_1 = \frac{324}{729} = \frac{4}{9} \).

Ответ: \( x_1 = \frac{4}{9} \), \( q = 3 \).

Пусть \( q \) обозначает знаменатель данной геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число \( q \), называемое знаменателем прогрессии. В данном случае нам даны значения седьмого члена прогрессии \( x_7 = 324 \) и четвёртого члена \( x_4 = 12 \). Чтобы найти \( q \), выразим \( x_7 \) через \( x_4 \) и \( q \). Поскольку \( x_7 \) находится на три шага дальше \( x_4 \) (то есть \( 7 — 4 = 3 \)), то можно записать равенство \( x_7 = x_4 q^3 \). Подставим известные значения: \( 324 = 12 q^3 \). Для нахождения \( q^3 \) разделим обе части уравнения на 12: \( q^3 = \frac{324}{12} \). Вычислим дробь: \( \frac{324}{12} = 27 \), значит \( q^3 = 27 \).

Теперь нам нужно найти \( q \), то есть число, которое в третьей степени даёт 27. Известно, что \( 3^3 = 27 \), следовательно, \( q = 3 \). Таким образом, знаменатель прогрессии равен 3. Это означает, что каждый следующий член прогрессии получается умножением предыдущего на 3.

Далее выразим первый член прогрессии \( x_1 \) через \( x_7 \) и \( q \). Поскольку \( x_7 \) — это седьмой член, он связан с первым членом формулой \( x_7 = x_1 q^{6} \), так как между первым и седьмым членом 6 шагов. Подставим известные значения: \( 324 = x_1 \cdot 3^{6} \). Вычислим \( 3^{6} \): \( 3^{6} = 729 \), следовательно, \( 324 = x_1 \cdot 729 \). Чтобы найти \( x_1 \), разделим обе части уравнения на 729: \( x_1 = \frac{324}{729} \). Сократим дробь, получим \( x_1 = \frac{4}{9} \).

Итог: первый член прогрессии \( x_1 = \frac{4}{9} \), а знаменатель прогрессии \( q = 3 \). Это значит, что прогрессия начинается с \( \frac{4}{9} \), и каждый следующий член умножается на 3, чтобы получить следующий член последовательности.