Рабочая тетрадь по алгебре для 9 класса под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полонского — это практическое учебное пособие, полностью соответствующее Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС). Она разработана для систематизации и закрепления знаний, полученных на уроках алгебры, и помогает школьникам глубже понять основные математические понятия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 25 Номер 10 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы
При любом \(n\) сумму \(n\) первых членов некоторой геометрической прогрессии \((b_n)\) можно вычислить по формуле \(S_n = 9(2^n — 1)\). Найдите:
1) седьмой член прогрессии;
2) знаменатель этой прогрессии.
1) \(b_7 = S_7 — S_6 = 9 \cdot (2^7 — 1) — 9 \cdot (2^6 — 1) = 9 \cdot 2^7 — 9 — 9 \cdot 2^6 + 9 =\)
\(= 9 \cdot 2^6 \cdot (2 — 1) = 9 \cdot 2^6 = 9 \cdot 64 = 576.\)
2) \(b_1 = S_1 = 9 \cdot (2^1 — 1) = 9 \cdot 1 = 9.\)
\(S_2 = 9 \cdot (2^2 — 1) = 9 \cdot (4 — 1) = 9 \cdot 3 = 27.\)
\(b_2 = S_2 — b_1 = 27 — 9 = 18.\)
\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{18}{9} = 2.\)
Ответ: 1) \(b_7 = 576;\) 2) \(q = 2.\)
Рассмотрим первое выражение для нахождения седьмого члена последовательности \(b_7\). Оно задаётся разностью сумм \(S_7\) и \(S_6\), где \(S_n\) — сумма первых \(n\) членов. Формула для суммы первых \(n\) членов дана как \(S_n = 9 \cdot (2^n — 1)\). Подставляя \(n = 7\) и \(n = 6\), получаем \(S_7 = 9 \cdot (2^7 — 1)\) и \(S_6 = 9 \cdot (2^6 — 1)\). Вычитаем \(S_6\) из \(S_7\), чтобы получить \(b_7\):
\(b_7 = S_7 — S_6 = 9 \cdot (2^7 — 1) — 9 \cdot (2^6 — 1)\). Раскрывая скобки, это равно \(9 \cdot 2^7 — 9 — 9 \cdot 2^6 + 9\). Слагаемые \(-9\) и \(+9\) сокращаются, остаётся \(9 \cdot 2^7 — 9 \cdot 2^6\). Выносим общий множитель \(9 \cdot 2^6\):
\(b_7 = 9 \cdot 2^6 \cdot (2 — 1) = 9 \cdot 2^6\). Поскольку \(2^6 = 64\), то \(b_7 = 9 \cdot 64 = 576\).
Для второго пункта начнём с вычисления первого члена \(b_1\). Он равен сумме \(S_1\), так как сумма первого члена равна самому первому члену. По формуле \(S_1 = 9 \cdot (2^1 — 1) = 9 \cdot 1 = 9\), значит \(b_1 = 9\). Далее вычислим сумму первых двух членов \(S_2 = 9 \cdot (2^2 — 1) = 9 \cdot (4 — 1) = 9 \cdot 3 = 27\). Чтобы найти второй член \(b_2\), вычтем первый член из суммы первых двух:
\(b_2 = S_2 — b_1 = 27 — 9 = 18\).
Теперь найдём знаменатель прогрессии \(q\), который равен отношению второго члена к первому:
\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{18}{9} = 2\). Это говорит о том, что каждый следующий член последовательности получается умножением предыдущего на 2. Таким образом, последовательность является геометрической с первым членом \(b_1 = 9\) и знаменателем \(q = 2\), что подтверждается вычисленными значениями. Ответы: \(b_7 = 576\), \(q = 2\).
