ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 25 Номер 11 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

В геометрической прогрессии (b_n) известно, что b_4 — b_2 = 24 и b_4 — b_3 = 18. Найдите сумму семи первых членов прогрессии.

Дано: \(b_4 — b_2 = 24\), \(b_4 — b_3 = 18\).

Пусть \(q\) — знаменатель прогрессии, \(b_1\) — первый член. Запишем систему:

\(b_1 q^3 — b_1 q = 24\), \(b_1 q^3 — b_1 q^2 = 18\).

Вынесем \(b_1 q\):

\(b_1 q (q^2 — 1) = 24\), \(b_1 q (q^2 — q) = 18\).

Поделим левую и правую части:

\(\frac{24}{q^2 — 1} = \frac{18}{q^2 — q}\).

Раскроем скобки и сократим:

\(\frac{24}{(q-1)(q+1)} = \frac{18}{q(q-1)}\).

Умножим на общий знаменатель:

\(24 q = 18 (q + 1)\).

Решим уравнение:

\(24 q = 18 q + 18\), \(6 q = 18\), \(q = 3\).

Найдём \(b_1\):

\(b_1 q = \frac{24}{q^2 — 1} = \frac{24}{9 — 1} = \frac{24}{8} = 3\).

Отсюда \(b_1 = \frac{3}{q} = \frac{3}{3} = 1\).

Сумма первых 7 членов:

\(S_7 = \frac{b_1 (q^7 — 1)}{q — 1} = \frac{1 (3^7 — 1)}{3 — 1} = \frac{2187 — 1}{2} = \frac{2186}{2} = 1093\).

1. Известно, что \(b_4 — b_2 = 24\) и \(b_4 — b_3 = 18\).

2. Пусть \(q\) — знаменатель геометрической прогрессии, а \(b_1\) — первый член.

3. Выразим члены прогрессии через \(b_1\) и \(q\):
\(b_4 = b_1 q^3\), \(b_3 = b_1 q^2\), \(b_2 = b_1 q\).

4. Запишем уравнения из условий:
\(b_1 q^3 — b_1 q = 24\),
\(b_1 q^3 — b_1 q^2 = 18\).

5. Вынесем общий множитель \(b_1 q\):
\(b_1 q (q^2 — 1) = 24\),
\(b_1 q (q^2 — q) = 18\).

6. Поделим первое уравнение на второе:
\(\frac{24}{18} = \frac{q^2 — 1}{q^2 — q}\).

7. Упростим дроби:
\(\frac{4}{3} = \frac{(q-1)(q+1)}{q(q-1)} = \frac{q+1}{q}\).

8. Решим уравнение:
\(\frac{4}{3} = \frac{q+1}{q}\),
\(4 q = 3 q + 3\),
\(q = 3\).

9. Найдем \(b_1\) из первого уравнения:
\(b_1 \cdot 3 (3^2 — 1) = 24\),
\(b_1 \cdot 3 (9 — 1) = 24\),
\(b_1 \cdot 3 \cdot 8 = 24\),
\(24 b_1 = 24\),
\(b_1 = 1\).

10. Найдем сумму первых 7 членов:
\(S_7 = \frac{b_1 (q^7 — 1)}{q — 1} = \frac{1 (3^7 — 1)}{3 — 1} = \frac{2187 — 1}{2} = \frac{2186}{2} = 1093\).