ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 25 Номер 2 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите сумму \(n\) первых членов геометрической прогрессии \((b_n)\) со знаменателем \(q\), если:
1) \(b_1 = 16, q = \frac{1}{2}, n = 6;\)
2) \(b_1 = 0,5, q = -\frac{1}{3}, n = 5;\)
3) \(b_1 = \frac{1}{12}, q = \sqrt{5}, n = 8.\)

1) \(b_1 = 16, q = \frac{1}{2}, n = 6.\)
Используя формулу \(S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1}\) составим уравнение:
\(S_6 = \frac{16\left(\left(\frac{1}{2}\right)^6 — 1\right)}{\frac{1}{2} — 1} = \frac{16\left(\frac{1}{64} — 1\right)}{\frac{1}{2} — 1} = \frac{16 \cdot \left(-\frac{63}{64}\right)}{-\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{1008}{64}}{-\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{63}{4}}{-\frac{1}{2}} = \frac{63}{4} \cdot 2 = \frac{63}{2} =\)
\(= 31,5.\)
Ответ: \(S_6 = 31,5.\)

2) \(b_1 = 0,5, q = -\frac{1}{3}, n = 5.\)
Используя формулу \(S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1}\) составим уравнение:
\(S_5 = \frac{0,5\left(\left(-\frac{1}{3}\right)^5 — 1\right)}{-\frac{1}{3} — 1} = \frac{0,5\left(-\frac{1}{243} — 1\right)}{-\frac{4}{3}} = \frac{0,5 \cdot \left(-\frac{244}{243}\right)}{-\frac{4}{3}} = \frac{-\frac{122}{243}}{-\frac{4}{3}} = \frac{122}{243} \cdot \frac{3}{4} = \frac{366}{972} = \frac{61}{162}.\)
Ответ: \(S_5 = \frac{61}{162}.\)

3) \(b_1 = \frac{1}{12}, q = \sqrt{5}, n = 8.\)
Используя формулу \(S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1}\) составим уравнение:
\(S_8 = \frac{\frac{1}{12}\left((\sqrt{5})^8 — 1\right)}{\sqrt{5} — 1} = \frac{\frac{1}{12}(625 — 1)}{\sqrt{5} — 1} = \frac{\frac{1}{12} \cdot 624}{\sqrt{5} — 1} = \frac{52}{\sqrt{5} — 1}.\)
Ответ: \(S_8 = \frac{52}{\sqrt{5} — 1}.\)

1) Рассмотрим первый пример. Дана первая величина прогрессии \(b_1 = 16\), знаменатель прогрессии \(q = \frac{1}{2}\) и количество членов прогрессии \(n = 6\). Чтобы найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии, используем формулу суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии: \(S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1}\). Здесь \(b_1\) — первый член, \(q\) — знаменатель, а \(n\) — число членов. Подставим данные значения: \(S_6 = \frac{16\left(\left(\frac{1}{2}\right)^6 — 1\right)}{\frac{1}{2} — 1}\).

Далее вычислим степень: \(\left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64}\). Значит, числитель становится \(16 \cdot \left(\frac{1}{64} — 1\right) = 16 \cdot \left(-\frac{63}{64}\right) = -\frac{1008}{64}\). Знаменатель равен \(\frac{1}{2} — 1 = -\frac{1}{2}\). Теперь делим числитель на знаменатель: \(\frac{-\frac{1008}{64}}{-\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{63}{4}}{-\frac{1}{2}} = \frac{63}{4} \cdot 2 = \frac{63}{2} = 31,5\). Таким образом, сумма первых шести членов равна \(31,5\).

Этот пример показывает, как важно аккуратно работать со степенями и знаками дробей при вычислении суммы геометрической прогрессии. Формула суммы позволяет быстро найти результат, если правильно подставить все значения и выполнить арифметические операции.

2) Во втором примере задан первый член прогрессии \(b_1 = 0,5\), знаменатель \(q = -\frac{1}{3}\), а число членов \(n = 5\). Снова используем формулу суммы: \(S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1}\). Подставим данные: \(S_5 = \frac{0,5\left(\left(-\frac{1}{3}\right)^5 — 1\right)}{-\frac{1}{3} — 1}\).

Вычислим степень: \(\left(-\frac{1}{3}\right)^5 = -\frac{1}{243}\). Тогда числитель равен \(0,5 \cdot \left(-\frac{1}{243} — 1\right) = 0,5 \cdot \left(-\frac{244}{243}\right) = -\frac{122}{243}\). Знаменатель: \(-\frac{1}{3} — 1 = -\frac{4}{3}\). Делим числитель на знаменатель: \(\frac{-\frac{122}{243}}{-\frac{4}{3}} = \frac{122}{243} \cdot \frac{3}{4} = \frac{366}{972} = \frac{61}{162}\). Итог: сумма первых пяти членов равна \(\frac{61}{162}\).

Здесь важно отметить, что знак знаменателя и числителя влияет на результат, и при работе с отрицательными знаменателями нужно быть внимательным. Также в этом примере дробные степени и отрицательные значения требуют аккуратного обращения с арифметикой.

3) В третьем примере первый член прогрессии \(b_1 = \frac{1}{12}\), знаменатель \(q = \sqrt{5}\), количество членов \(n = 8\). Используем ту же формулу: \(S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1}\). Подставляем: \(S_8 = \frac{\frac{1}{12}\left((\sqrt{5})^8 — 1\right)}{\sqrt{5} — 1}\).

Вычисляем степень: \((\sqrt{5})^8 = (5^{1/2})^8 = 5^{4} = 625\). Тогда числитель: \(\frac{1}{12} (625 — 1) = \frac{1}{12} \cdot 624 = 52\). Знаменатель остается \(\sqrt{5} — 1\). Итоговая сумма: \(S_8 = \frac{52}{\sqrt{5} — 1}\).

Этот пример демонстрирует, как работать с иррациональными знаменателями и степенями. Важно правильно возвести в степень корень и аккуратно подставить полученные значения в формулу суммы. Результат выражается через дробь с иррациональным знаменателем.