ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 25 Номер 3 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдем знаменатель данной прогрессии:
\(q = 5 : \frac{5}{7} = 5 \cdot \frac{7}{5} = 7.\)

Имеем: \(b_1 = \frac{5}{7}, q = 7, n = 4.\)

Используя формулу \(S_n = b_1 \frac{q^n — 1}{q — 1}\) составим уравнение:

\(S_4 = \frac{5}{7} \frac{7^4 — 1}{7 — 1} = \frac{5}{7} \frac{2401 — 1}{6} = \frac{5}{7} \frac{2400}{6} = \frac{5}{7} \cdot 400 = \frac{2000}{7} = 285 \frac{5}{7}.\)

Ответ: \(S_4 = 285 \frac{5}{7}.\)

Для начала найдем знаменатель геометрической прогрессии, обозначаемый как \(q\). Из условия известно, что первый член прогрессии равен \(b_1 = \frac{5}{7}\), а следующий член равен 5. Чтобы найти знаменатель, нужно разделить второй член прогрессии на первый, то есть вычислить \(q = \frac{5}{\frac{5}{7}}\). Делая деление дробей, мы умножаем числитель первой дроби на обратную дробь второго числа, получается \(q = 5 \cdot \frac{7}{5}\). При умножении сокращаются пятерки, и в итоге получаем \(q = 7\). Таким образом, знаменатель прогрессии равен 7.

Далее известно, что количество членов прогрессии равно \(n = 4\). Чтобы найти сумму первых четырех членов геометрической прогрессии, используем формулу суммы первых \(n\) членов: \(S_n = b_1 \frac{q^n — 1}{q — 1}\). Подставим известные значения: \(b_1 = \frac{5}{7}\), \(q = 7\), \(n = 4\). Сначала вычислим степень: \(7^4 = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 2401\). Теперь подставляем в формулу:
\(S_4 = \frac{5}{7} \frac{2401 — 1}{7 — 1} = \frac{5}{7} \frac{2400}{6}\).

Следующий шаг — упростить дробь \(\frac{2400}{6}\). Делением 2400 на 6 получаем 400. Теперь выражение для суммы принимает вид:
\(S_4 = \frac{5}{7} \cdot 400\). Умножая дробь на целое число, умножаем числитель дроби на число, оставляя знаменатель без изменений:
\(S_4 = \frac{5 \cdot 400}{7} = \frac{2000}{7}\).

Чтобы представить результат в виде смешанного числа, делим 2000 на 7. Частное равно 285, а остаток 5, значит:
\(S_4 = 285 \frac{5}{7}\). Это и есть сумма первых четырех членов геометрической прогрессии с заданными параметрами.

1) Рассмотрим первый пример. Дана первая величина прогрессии \(b_1 = 16\), знаменатель прогрессии \(q = \frac{1}{2}\) и количество членов прогрессии \(n = 6\). Чтобы найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии, используем формулу суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии: \(S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1}\). Здесь \(b_1\) — первый член, \(q\) — знаменатель, а \(n\) — число членов. Подставим данные значения: \(S_6 = \frac{16\left(\left(\frac{1}{2}\right)^6 — 1\right)}{\frac{1}{2} — 1}\).

Далее вычислим степень: \(\left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64}\). Значит, числитель становится \(16 \cdot \left(\frac{1}{64} — 1\right) = 16 \cdot \left(-\frac{63}{64}\right) = -\frac{1008}{64}\). Знаменатель равен \(\frac{1}{2} — 1 = -\frac{1}{2}\). Теперь делим числитель на знаменатель: \(\frac{-\frac{1008}{64}}{-\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{63}{4}}{-\frac{1}{2}} = \frac{63}{4} \cdot 2 = \frac{63}{2} = 31,5\). Таким образом, сумма первых шести членов равна \(31,5\).

Этот пример показывает, как важно аккуратно работать со степенями и знаками дробей при вычислении суммы геометрической прогрессии. Формула суммы позволяет быстро найти результат, если правильно подставить все значения и выполнить арифметические операции.

2) Во втором примере задан первый член прогрессии \(b_1 = 0,5\), знаменатель \(q = -\frac{1}{3}\), а число членов \(n = 5\). Снова используем формулу суммы: \(S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1}\). Подставим данные: \(S_5 = \frac{0,5\left(\left(-\frac{1}{3}\right)^5 — 1\right)}{-\frac{1}{3} — 1}\).

Вычислим степень: \(\left(-\frac{1}{3}\right)^5 = -\frac{1}{243}\). Тогда числитель равен \(0,5 \cdot \left(-\frac{1}{243} — 1\right) = 0,5 \cdot \left(-\frac{244}{243}\right) = -\frac{122}{243}\). Знаменатель: \(-\frac{1}{3} — 1 = -\frac{4}{3}\). Делим числитель на знаменатель: \(\frac{-\frac{122}{243}}{-\frac{4}{3}} = \frac{122}{243} \cdot \frac{3}{4} = \frac{366}{972} = \frac{61}{162}\). Итог: сумма первых пяти членов равна \(\frac{61}{162}\).

Здесь важно отметить, что знак знаменателя и числителя влияет на результат, и при работе с отрицательными знаменателями нужно быть внимательным. Также в этом примере дробные степени и отрицательные значения требуют аккуратного обращения с арифметикой.

3) В третьем примере первый член прогрессии \(b_1 = \frac{1}{12}\), знаменатель \(q = \sqrt{5}\), количество членов \(n = 8\). Используем ту же формулу: \(S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1}\). Подставляем: \(S_8 = \frac{\frac{1}{12}\left((\sqrt{5})^8 — 1\right)}{\sqrt{5} — 1}\).

Вычисляем степень: \((\sqrt{5})^8 = (5^{1/2})^8 = 5^{4} = 625\). Тогда числитель: \(\frac{1}{12} (625 — 1) = \frac{1}{12} \cdot 624 = 52\). Знаменатель остается \(\sqrt{5} — 1\). Итоговая сумма: \(S_8 = \frac{52}{\sqrt{5} — 1}\).

Этот пример демонстрирует, как работать с иррациональными знаменателями и степенями. Важно правильно возвести в степень корень и аккуратно подставить полученные значения в формулу суммы. Результат выражается через дробь с иррациональным знаменателем.