ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 25 Номер 4 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии (b_n), если b_3 = 24, b_6 = 648.

Пусть \( q \) – знаменатель данной прогрессии.
Выразим \( b_6 \) через \( b_3 \) и \( q \):
\( b_6 = b_3 q^3 \).
Тогда:
\( 648 = 24 q^3 \)
\( q^3 = 648 : 24 \)
\( q^3 = 27 \)
\( q = 3 \).
Выразим \( b_3 \) через \( b_1 \) и \( q \):
\( b_3 = b_1 q^2 \).
Тогда:
\( 24 = b_1 \cdot 3^2 \)
\( 24 = 9 b_1 \)
\( b_1 = \frac{24}{9} \)
\( b_1 = \frac{8}{3} \).
Имеем: \( b_1 = \frac{8}{3}, q = 3, n = 6 \).
Используя формулу \( S_n = \frac{b_1 (q^n — 1)}{q — 1} \) составим уравнение:
\( S_6 = \frac{\frac{8}{3} (3^6 — 1)}{3 — 1} = \frac{\frac{8}{3} (729 — 1)}{2} = \frac{\frac{8}{3} \cdot 728}{2} = \frac{8}{3} \cdot 364 = \frac{2912}{3} = 970 \frac{2}{3} \).
Ответ: \( S_6 = 970 \frac{2}{3} \).

Пусть \( q \) — знаменатель геометрической прогрессии. Это число, на которое умножается каждый член прогрессии, чтобы получить следующий. В условии нам даны значения \( b_6 = 648 \) и \( b_3 = 24 \), где \( b_n \) — \( n \)-й член прогрессии. Чтобы найти \( q \), выразим \( b_6 \) через \( b_3 \) и \( q \). По свойству геометрической прогрессии, \( b_6 = b_3 q^3 \), так как от третьего члена к шестому проходит три шага умножения на \( q \). Подставим известные значения: \( 648 = 24 q^3 \). Делим обе части уравнения на 24, получаем \( q^3 = \frac{648}{24} = 27 \). Теперь найдём \( q \), извлекая кубический корень из 27: \( q = 3 \).

Следующим шагом найдём первый член прогрессии \( b_1 \). Для этого выразим \( b_3 \) через \( b_1 \) и \( q \). По формуле геометрической прогрессии \( b_3 = b_1 q^2 \), поскольку от первого члена к третьему два шага умножения на \( q \). Известно, что \( b_3 = 24 \) и \( q = 3 \), поэтому \( 24 = b_1 \cdot 3^2 = 9 b_1 \). Отсюда \( b_1 = \frac{24}{9} = \frac{8}{3} \). Таким образом, первый член прогрессии равен \( \frac{8}{3} \), знаменатель \( q = 3 \), а количество членов \( n = 6 \).

Теперь найдём сумму первых шести членов прогрессии \( S_6 \). Для геометрической прогрессии сумма первых \( n \) членов вычисляется по формуле \( S_n = \frac{b_1 (q^n — 1)}{q — 1} \). Подставим наши значения: \( S_6 = \frac{\frac{8}{3} (3^6 — 1)}{3 — 1} \). Сначала вычислим степень: \( 3^6 = 729 \), значит \( 3^6 — 1 = 728 \). Подставим дальше: \( S_6 = \frac{\frac{8}{3} \cdot 728}{2} = \frac{8}{3} \cdot 364 \). Умножим: \( \frac{8}{3} \cdot 364 = \frac{8 \cdot 364}{3} = \frac{2912}{3} \). Преобразуем в смешанное число: \( \frac{2912}{3} = 970 \frac{2}{3} \). Таким образом, сумма первых шести членов прогрессии равна \( 970 \frac{2}{3} \).