ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 25 Номер 5 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (b_n), если b_2 = 10, b_4 = 250.

Пусть \( q \) — знаменатель данной прогрессии.
Выразим \( b_4 \) через \( b_2 \) и \( q \): \( b_4 = b_2 q^2 \).
Тогда:
\( 250 = 10 q^2 \)
\( q^2 = \frac{250}{10} \)
\( q^2 = 25 \)
\( q = -5 \) или \( q = 5 \).

Выразим \( b_2 \) через \( b_1 \) и \( q \): \( b_2 = b_1 q \).
Тогда:
\( 10 = b_1 \cdot (-5) \) или \( 10 = b_1 \cdot 5 \)
\( b_1 = \frac{10}{-5} \)
\( b_1 = \frac{10}{5} \)
\( b_1 = -2 \)
\( b_1 = 2 \).

Используя формулу \( S_n = b_1 \frac{q^n — 1}{q — 1} \) составим уравнения.

При \( b_1 = -2 \), \( q = -5 \), \( n = 5 \):
\( S_5 = -2 \cdot \frac{(-5)^5 — 1}{-5 — 1} = -2 \cdot \frac{-3125 — 1}{-6} = -2 \cdot \frac{-3126}{-6} = -1042 \).

При \( b_1 = 2 \), \( q = 5 \), \( n = 5 \):
\( S_5 = 2 \cdot \frac{5^5 — 1}{5 — 1} = 2 \cdot \frac{3125 — 1}{4} = 2 \cdot \frac{3124}{4} = 1562 \).

Ответ: \( S_5 = -1042 \) или \( S_5 = 1562 \).

Пусть \( q \) — знаменатель геометрической прогрессии, то есть число, на которое умножается каждый следующий член прогрессии относительно предыдущего. В задаче нам даны некоторые члены прогрессии и их значения, и нам нужно найти сумму первых \( n \) членов. Для этого сначала выразим четвёртый член прогрессии \( b_4 \) через второй член \( b_2 \) и знаменатель \( q \). Из свойств геометрической прогрессии известно, что \( b_4 = b_2 q^2 \), так как между вторым и четвёртым членом два шага, каждый из которых умножает на \( q \). По условию \( b_4 = 250 \), а \( b_2 = 10 \), тогда уравнение принимает вид \( 250 = 10 q^2 \). Чтобы найти \( q \), делим обе части уравнения на 10: \( q^2 = \frac{250}{10} = 25 \). Из этого следует, что \( q = \pm 5 \), то есть знаменатель прогрессии может быть либо 5, либо -5.

Далее выразим второй член прогрессии \( b_2 \) через первый член \( b_1 \) и знаменатель \( q \). По определению геометрической прогрессии \( b_2 = b_1 q \). Известно, что \( b_2 = 10 \), а \( q \) может быть 5 или -5. Рассмотрим оба варианта. Если \( q = -5 \), тогда \( 10 = b_1 \cdot (-5) \), откуда \( b_1 = \frac{10}{-5} = -2 \). Если \( q = 5 \), тогда \( 10 = b_1 \cdot 5 \), откуда \( b_1 = \frac{10}{5} = 2 \). Таким образом, первый член прогрессии может быть либо -2, либо 2, в зависимости от знака знаменателя.

Теперь, чтобы найти сумму первых \( n \) членов прогрессии, используем формулу суммы геометрической прогрессии: \( S_n = b_1 \frac{q^n — 1}{q — 1} \). Подставим значения для каждого варианта. При \( b_1 = -2 \), \( q = -5 \), \( n = 5 \) сумма равна \( S_5 = -2 \cdot \frac{(-5)^5 — 1}{-5 — 1} = -2 \cdot \frac{-3125 — 1}{-6} = -2 \cdot \frac{-3126}{-6} \). Считаем числитель и знаменатель: числитель -3126, знаменатель -6, их частное равно 521. Тогда \( S_5 = -2 \cdot 521 = -1042 \). Для второго варианта, при \( b_1 = 2 \), \( q = 5 \), \( n = 5 \), сумма равна \( S_5 = 2 \cdot \frac{5^5 — 1}{5 — 1} = 2 \cdot \frac{3125 — 1}{4} = 2 \cdot \frac{3124}{4} \). Делим 3124 на 4, получаем 781, тогда \( S_5 = 2 \cdot 781 = 1562 \).

Итог: в зависимости от знака знаменателя прогрессии и первого члена сумма первых пяти членов может быть либо \( S_5 = -1042 \), либо \( S_5 = 1562 \). Это показывает, как знак и значение знаменателя влияют на поведение прогрессии и её сумму.