ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 25 Номер 7 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите сумму восьми первых членов геометрической прогрессии (b_n) со знаменателем q, если b_8 = 384, q = 2.

Рассмотрим геометрическую прогрессию \((c_n)\), у которой \(c_1 = 384\), а знаменатель \(q_1 = \frac{1}{2}\). Тогда сумма восьми первых членов геометрической прогрессии \((b_n)\) будет равна сумме:

\[
S_8 = 384 \cdot \left(\left(\frac{1}{2}\right)^8 — 1\right) \div \left(\frac{1}{2} — 1\right) = 384 \cdot \frac{\frac{1}{256} — 1}{-\frac{1}{2}} = 384 \cdot \frac{-\frac{255}{256}}{-\frac{1}{2}} =
\]

\[
= \frac{384 \cdot 255 \cdot 2}{256} = \frac{384 \cdot 255}{128} = 3 \cdot 255 = 765.
\]

Ответ: \(S_8 = 765.\)

Рассмотрим геометрическую прогрессию \((c_n)\), для которой задан первый член \(c_1 = 384\) и знаменатель прогрессии \(q = \frac{1}{2}\). Знаменатель прогрессии — это число, на которое умножается каждый следующий член, чтобы получить следующий элемент последовательности. В данном случае каждый следующий член будет ровно в два раза меньше предыдущего, так как \(q = \frac{1}{2}\).

Чтобы найти сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, воспользуемся формулой суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии: \(S_n = c_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\). Здесь \(c_1\) — первый член, \(q\) — знаменатель, \(n\) — количество членов, которые суммируем. Подставим наши значения: \(c_1 = 384\), \(q = \frac{1}{2}\), \(n = 8\). Получаем выражение для суммы:

\(S_8 = 384 \cdot \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^8 — 1}{\frac{1}{2} — 1}\).

Далее вычислим степень: \(\left(\frac{1}{2}\right)^8 = \frac{1}{2^8} = \frac{1}{256}\). Подставим это в выражение:

\(S_8 = 384 \cdot \frac{\frac{1}{256} — 1}{\frac{1}{2} — 1} = 384 \cdot \frac{\frac{1}{256} — \frac{256}{256}}{\frac{1}{2} — 1} = 384 \cdot \frac{-\frac{255}{256}}{-\frac{1}{2}}\).

Обратим внимание, что в числителе стоит отрицательное число \(-\frac{255}{256}\), а в знаменателе тоже отрицательное число \(-\frac{1}{2}\). При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным. Теперь упростим дробь:

\(\frac{-\frac{255}{256}}{-\frac{1}{2}} = \frac{255}{256} \cdot \frac{2}{1} = \frac{255 \cdot 2}{256} = \frac{510}{256}\).

Подставим обратно:

\(S_8 = 384 \cdot \frac{510}{256}\).

Теперь сократим дробь. Заметим, что \(384 = 3 \cdot 128\), а \(256 = 2 \cdot 128\), поэтому:

\(S_8 = 3 \cdot 128 \cdot \frac{510}{2 \cdot 128} = 3 \cdot \frac{510}{2} = 3 \cdot 255 = 765\).

Таким образом, сумма первых восьми членов данной геометрической прогрессии равна \(765\).