Рабочая тетрадь по алгебре для 9 класса под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полонского — это практическое учебное пособие, полностью соответствующее Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС). Она разработана для систематизации и закрепления знаний, полученных на уроках алгебры, и помогает школьникам глубже понять основные математические понятия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 26 Номер 1 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы
Заполните пропуски.
Суммой бесконечной геометрической прогрессии (b_n), у которой |q| < 1, называют число ___
Суммой бесконечной геометрической прогрессии \((b_n)\), у которой \(|q| < 1\), называют число \(\frac{b_1}{1 - q}\).
Суммой бесконечной геометрической прогрессии \((b_n)\), у которой \(|q| < 1\), называют число \(\frac{b_1}{1 - q}\). Бесконечная геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, каждый следующий член которой получается умножением предыдущего на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии. Если первые члены прогрессии обозначить как \(b_1, b_2, b_3, \ldots\), то общий вид прогрессии можно записать так: \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\), где \(n\) — номер члена прогрессии. Важно, что при бесконечном числе членов прогрессии сумма этих членов может иметь конечное значение только при условии, что абсолютное значение знаменателя меньше единицы, то есть \(|q| < 1\). Когда \(|q| < 1\), члены прогрессии становятся всё меньше и стремятся к нулю по мере увеличения \(n\). Это свойство позволяет вычислить сумму бесконечного числа членов прогрессии, которая называется суммой бесконечной геометрической прогрессии. Формула для этой суммы выражается через первый член прогрессии \(b_1\) и знаменатель \(q\) и имеет вид: \(S = \frac{b_1}{1 - q}\). Здесь знаменатель \(1 - q\) в знаменателе дроби показывает, насколько быстро уменьшаются члены прогрессии, а числитель \(b_1\) задаёт начальное значение последовательности. Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии выводится из предела частичных сумм конечных геометрических прогрессий. Частичная сумма первых \(n\) членов равна \(S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}\). При \(|q| < 1\), при стремлении \(n\) к бесконечности, \(q^n\) стремится к нулю, и тогда сумма принимает вид \(S = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{b_1}{1 - q}\). Эта формула является фундаментальной в математике и широко применяется в различных областях, таких как физика, экономика и теория вероятностей, где важна оценка пределов и сумм бесконечных рядов.
