ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 26 Номер 10 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Решите уравнение \(x^{2} — x^{4} + x^{6} — \ldots = \frac{9}{25}\), если \(|x| < 1\).

\(x^{2} — x^{4} + x^{6} — \ldots = \frac{9}{25}\), если \(|x| < 1\). Левую часть данного уравнения можно рассматривать как сумму бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой равен \(b_{1} = x^{2}\), а знаменатель равен \(q = -x^{4} : x^{2} = -x^{2}\). Используя формулу \(S = \frac{b_{1}}{1 - q}\) запишем уравнение: \(\frac{x^{2}}{1 - (-x^{2})} = \frac{9}{25}\) \(\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} = \frac{9}{25}\) \(25x^{2} = 9(1 + x^{2})\) \(25x^{2} = 9 + 9x^{2}\) \(25x^{2} - 9x^{2} = 9\) \(16x^{2} = 9\) \(x^{2} = \frac{9}{16}\) \(x = \pm \frac{3}{4}\) Ответ: \(x = -\frac{3}{4}\) или \(x = \frac{3}{4}\).

Рассмотрим уравнение \(x^{2} — x^{4} + x^{6} — \ldots = \frac{9}{25}\), при условии, что \(|x| < 1\). Левая часть уравнения представляет собой бесконечную сумму, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на некоторый постоянный множитель. Такая сумма называется бесконечной геометрической прогрессией. Чтобы работать с ней, надо определить первый член прогрессии и её знаменатель. Первый член прогрессии здесь равен \(b_{1} = x^{2}\), так как это первый слагаемый. Знаменатель прогрессии — число, на которое умножается каждый следующий член, чтобы получить следующий. В нашем случае знаменатель равен отношению второго члена к первому: \(q = \frac{-x^{4}}{x^{2}} = -x^{2}\). Так как \(|x| < 1\), то \(|q| = |-x^{2}| = |x|^{2} < 1\), и мы можем применить формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии, которая записывается как \(S = \frac{b_{1}}{1 - q}\). Подставим наши значения: \(S = \frac{x^{2}}{1 - (-x^{2})} = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}\). По условию, эта сумма равна \(\frac{9}{25}\), то есть уравнение принимает вид \(\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} = \frac{9}{25}\). Далее решим уравнение. Умножим обе части на знаменатель \(1 + x^{2}\), чтобы избавиться от дроби: \(x^{2} = \frac{9}{25}(1 + x^{2})\). Раскроем скобки справа: \(x^{2} = \frac{9}{25} + \frac{9}{25}x^{2}\). Перенесём все члены с \(x^{2}\) в одну сторону: \(x^{2} - \frac{9}{25}x^{2} = \frac{9}{25}\). Вынесем \(x^{2}\) за скобки: \(x^{2}(1 - \frac{9}{25}) = \frac{9}{25}\). Вычислим разность в скобках: \(1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\). Получаем уравнение: \(x^{2} \cdot \frac{16}{25} = \frac{9}{25}\). Умножим обе части уравнения на 25, чтобы избавиться от знаменателей: \(16x^{2} = 9\). Разделим обе части на 16: \(x^{2} = \frac{9}{16}\). Чтобы найти \(x\), извлечём квадратный корень: \(x = \pm \frac{3}{4}\). Таким образом, уравнение имеет два решения: \(x = \frac{3}{4}\) и \(x = -\frac{3}{4}\). Эти значения удовлетворяют условию \(|x| < 1\), что подтверждает корректность решения.