Рабочая тетрадь по алгебре для 9 класса под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полонского — это практическое учебное пособие, полностью соответствующее Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС). Она разработана для систематизации и закрепления знаний, полученных на уроках алгебры, и помогает школьникам глубже понять основные математические понятия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 26 Номер 4 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы
Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 96, 24, 6, … .
Для числа \(0,(23)\) представляем его как сумму геометрической прогрессии с первым членом \(b_1 = 0,23\) и знаменателем \(q = 0,01\). Сумма равна \( \frac{0,23}{1 — 0,01} = \frac{23}{99}\).
Для числа \(1,4(3)\) выделяем периодическую часть \(0,0333 \ldots\) как сумму геометрической прогрессии с \(b_1 = 0,03\) и \(q = 0,1\). Сумма равна \( \frac{0,03}{1 — 0,1} = \frac{1}{30}\). Тогда \(1,4(3) = 1,4 + \frac{1}{30} = \frac{43}{30}\).
Для числа \(3,2(34)\) выделяем периодическую часть \(0,0343434 \ldots\) с \(b_1 = 0,034\) и \(q = 0,01\). Сумма равна \( \frac{0,034}{1 — 0,01} = \frac{17}{495}\). Тогда \(3,2(34) = 3,2 + \frac{17}{495} = \frac{1601}{495}\).
1) Число \(0,(23)\) можно представить как сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом \(b_1 = 0,23\) и знаменателем \(q = 0,01\), так как период «23» начинается после двух знаков после запятой.
Сумма такой прогрессии равна \(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,23}{1 — 0,01} = \frac{0,23}{0,99}\).
Переводим в дробь: \(0,23 = \frac{23}{100}\), тогда \(S = \frac{\frac{23}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{23}{99}\).
Ответ: \(0,(23) = \frac{23}{99}\).
2) Число \(1,4(3)\) состоит из целой части 1, десятичной части 0,4 и периодической части (3).
Периодическая часть \(0,(3) = 0,3333 \ldots\) равна сумме геометрической прогрессии с первым членом \(b_1 = 0,03\) (т.к. период начинается после одного знака после запятой) и знаменателем \(q = 0,1\).
Сумма этой прогрессии: \(S = \frac{0,03}{1 — 0,1} = \frac{0,03}{0,9} = \frac{1}{30}\).
Тогда \(1,4(3) = 1,4 + \frac{1}{30} = \frac{14}{10} + \frac{1}{30} = \frac{42}{30} + \frac{1}{30} = \frac{43}{30}\).
Ответ: \(1,4(3) = \frac{43}{30}\).
3) Число \(3,2(34)\) состоит из целой части 3, десятичной части 0,2 и периодической части (34).
Периодическая часть \(0,(34) = 0,343434 \ldots\) начинается после двух знаков после запятой, значит первый член прогрессии \(b_1 = 0,034\), а знаменатель \(q = 0,01\).
Сумма прогрессии: \(S = \frac{0,034}{1 — 0,01} = \frac{0,034}{0,99}\).
Переводим в дробь: \(0,034 = \frac{34}{1000}\), тогда \(S = \frac{\frac{34}{1000}}{\frac{99}{100}} = \frac{34}{1000} \cdot \frac{100}{99} = \frac{34 \cdot 100}{1000 \cdot 99} = \frac{3400}{99000} = \frac{17}{495}\).
Тогда \(3,2(34) = 3,2 + \frac{17}{495} = \frac{32}{10} + \frac{17}{495}\).
Приводим к общему знаменателю: \(\frac{32}{10} = \frac{32 \cdot 495}{10 \cdot 495} = \frac{15840}{4950}\), но проще сразу к знаменателю 495: \(\frac{32}{10} = \frac{32 \cdot 49.5}{10 \cdot 49.5} = \frac{1584}{495}\).
Тогда сумма: \(\frac{1584}{495} + \frac{17}{495} = \frac{1601}{495}\).
Ответ: \(3,2(34) = \frac{1601}{495}\).
