ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 26 Номер 7 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии (b_n), если b_2 — b_4 = 1,5 и b_1 — b_3 = 3.

Известно, что \(b_2 — b_4 = 1,5\) и \(b_1 — b_3 = 3\).

Пусть \(q\) — знаменатель данной прогрессии. С учетом условия запишем систему двух уравнений с переменными \(b_1\) и \(q\):

\[
\begin{cases}
b_1 q — b_1 q^3 = 1,5 \\
b_1 — b_1 q^2 = 3
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
b_1 (q — q^3) = 1,5 \\
b_1 (1 — q^2) = 3
\end{cases}
\]

Поделим почленно левые и правые части уравнения системы:

\[
\begin{cases}
b_1 = \frac{1,5}{q — q^3} \\
b_1 = \frac{3}{1 — q^2}
\end{cases}
\]

Получаем уравнение:

\[
\frac{1,5}{q — q^3} = \frac{3}{1 — q^2}, \quad q \neq 0 \text{ и } q \neq \pm 1
\]

\[
\frac{1,5}{q(1 — q^2)} = \frac{3}{1 — q^2},
\]

\[
\frac{1,5}{q} = 3
\]

\[
3q = 1,5
\]

\[
q = \frac{1,5}{3}
\]

\[
q = 0,5.
\]

Таким образом:

\[
b_1 = \frac{3}{1 — q^2} = \frac{3}{1 — 0,5^2} = \frac{3}{1 — 0,25} = \frac{3}{0,75} = 4.
\]

Используя формулу \(S = \frac{b_1}{1 — q}\) запишем уравнение:

\[
S = \frac{4}{1 — 0,5} = \frac{4}{0,5} = 8.
\]

Ответ: \(S = 8\).

Известно, что разность членов геометрической прогрессии \(b_2 — b_4 = 1,5\) и \(b_1 — b_3 = 3\). Пусть \(q\) — знаменатель прогрессии, а \(b_1\) — первый её член. Тогда члены прогрессии можно выразить через \(b_1\) и \(q\): \(b_2 = b_1 q\), \(b_3 = b_1 q^2\), \(b_4 = b_1 q^3\). Подставляя это в данные условия, получаем систему уравнений: \(b_1 q — b_1 q^3 = 1,5\) и \(b_1 — b_1 q^2 = 3\). Фактически, мы используем определение геометрической прогрессии и условия на разности, чтобы сформировать систему с двумя неизвестными: \(b_1\) и \(q\).

Далее можно упростить уравнения, вынеся \(b_1\) за скобки: \(b_1 (q — q^3) = 1,5\) и \(b_1 (1 — q^2) = 3\). Чтобы найти \(b_1\) и \(q\), выразим \(b_1\) из каждого уравнения: \(b_1 = \frac{1,5}{q — q^3}\) и \(b_1 = \frac{3}{1 — q^2}\). Приравнивая эти выражения, получаем уравнение относительно \(q\): \(\frac{1,5}{q — q^3} = \frac{3}{1 — q^2}\). Заметим, что \(q — q^3 = q(1 — q^2)\), поэтому уравнение преобразуется к виду \(\frac{1,5}{q(1 — q^2)} = \frac{3}{1 — q^2}\). При условии, что \(q \neq 0\) и \(q \neq \pm 1\), можно сократить на \(1 — q^2\), и уравнение упростится до \(\frac{1,5}{q} = 3\).

Из уравнения \(\frac{1,5}{q} = 3\) следует, что \(3 q = 1,5\), откуда \(q = \frac{1,5}{3} = 0,5\). Теперь, зная \(q\), найдем \(b_1\) подставив значение в выражение \(b_1 = \frac{3}{1 — q^2}\). Подставляем \(q = 0,5\), получаем \(b_1 = \frac{3}{1 — 0,5^2} = \frac{3}{1 — 0,25} = \frac{3}{0,75} = 4\). Таким образом, первый член прогрессии равен 4, а знаменатель прогрессии равен 0,5.

Для нахождения суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии используем формулу \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). Подставляем известные значения: \(S = \frac{4}{1 — 0,5} = \frac{4}{0,5} = 8\). Это означает, что сумма всех членов данной прогрессии равна 8. Таким образом, мы последовательно, начиная с условий на разности членов, через систему уравнений нашли знаменатель и первый член прогрессии, а затем вычислили сумму всей прогрессии.