Рабочая тетрадь по алгебре для 9 класса под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полонского — это практическое учебное пособие, полностью соответствующее Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС). Она разработана для систематизации и закрепления знаний, полученных на уроках алгебры, и помогает школьникам глубже понять основные математические понятия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 26 Номер 8 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы
Найдите первый член и знаменатель бесконечной геометрической прогрессии (b_n), если b_2 = 18, а сумма прогрессии равна 81.
Пусть \( q \) — знаменатель прогрессии, тогда \( b_2 = b_1 q = 18 \), откуда \( b_1 = \frac{18}{q} \).
Сумма бесконечной прогрессии равна \( S = \frac{b_1}{1 — q} = 81 \). Подставляем \( b_1 \):
\( \frac{\frac{18}{q}}{1 — q} = 81 \), что равно \( \frac{18}{q(1 — q)} = 81 \).
Умножаем обе части на \( q(1 — q) \): \( 18 = 81 q — 81 q^2 \).
Приводим к квадратному уравнению: \( 81 q^2 — 81 q + 18 = 0 \), делим на 9: \( 9 q^2 — 9 q + 2 = 0 \).
Вычисляем дискриминант: \( D = (-9)^2 — 4 \cdot 9 \cdot 2 = 9 \).
Корни: \( q = \frac{9 \pm 3}{18} \), то есть \( q_1 = \frac{1}{3} \), \( q_2 = \frac{2}{3} \).
Для \( q_1 \): \( b_1 = \frac{18}{\frac{1}{3}} = 54 \).
Для \( q_2 \): \( b_1 = \frac{18}{\frac{2}{3}} = 27 \).
Ответ: либо \( b_1 = 54 \), \( q = \frac{1}{3} \), либо \( b_1 = 27 \), \( q = \frac{2}{3} \).
Пусть \( q \) — знаменатель геометрической прогрессии. Из условия задачи нам даны некоторые уравнения, связывающие первый член прогрессии \( b_1 \), второй член \( b_2 \), сумму прогрессии \( S \), и знаменатель \( q \). Известно, что \( b_2 = b_1 q \), а сумма бесконечной убывающей прогрессии равна \( S = \frac{b_1}{1 — q} \). Подставляя известные значения, получаем систему уравнений:
\[
\begin{cases}
b_2 = b_1 q \\
S = \frac{b_1}{1 — q}
\end{cases}
\]
Из условия задачи известно, что \( b_2 = 18 \) и сумма \( S = 81 \), тогда:
\[
\begin{cases}
18 = b_1 q \\
81 = \frac{b_1}{1 — q}
\end{cases}
\]
Выразим \( b_1 \) из первого уравнения: \( b_1 = \frac{18}{q} \). Подставим это выражение во второе уравнение:
\[
81 = \frac{\frac{18}{q}}{1 — q} = \frac{18}{q (1 — q)}
\]
Отсюда следует уравнение:
\[
\frac{18}{q (1 — q)} = 81
\]
Домножим обе части на \( q (1 — q) \):
\[
18 = 81 q (1 — q)
\]
Раскроем скобки:
\[
18 = 81 q — 81 q^2
\]
Переносим все в левую часть уравнения:
\[
81 q^2 — 81 q + 18 = 0
\]
Для удобства делим уравнение на 9:
\[
9 q^2 — 9 q + 2 = 0
\]
Это квадратное уравнение относительно \( q \). Найдем дискриминант:
\[
D = (-9)^2 — 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 — 72 = 9
\]
Корни уравнения вычисляются по формуле:
\[
q = \frac{9 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 \pm 3}{18}
\]
Первый корень:
\[
q_1 = \frac{9 — 3}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}
\]
Второй корень:
\[
q_2 = \frac{9 + 3}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}
\]
Теперь найдем соответствующие значения \( b_1 \) для каждого корня, используя \( b_1 = \frac{18}{q} \):
Если \( q = \frac{1}{3} \), то
\[
b_1 = \frac{18}{\frac{1}{3}} = 18 \cdot 3 = 54
\]
Если \( q = \frac{2}{3} \), то
\[
b_1 = \frac{18}{\frac{2}{3}} = 18 \cdot \frac{3}{2} = 27
\]
Таким образом, мы получили два возможных решения для параметров прогрессии: либо \( b_1 = 54 \) и \( q = \frac{1}{3} \), либо \( b_1 = 27 \) и \( q = \frac{2}{3} \). Оба варианта удовлетворяют исходным условиям задачи.
