Рабочая тетрадь по алгебре для 9 класса под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полонского — это практическое учебное пособие, полностью соответствующее Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС). Она разработана для систематизации и закрепления знаний, полученных на уроках алгебры, и помогает школьникам глубже понять основные математические понятия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 26 Номер 9 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы
Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 96, а сумма трёх её первых членов равна 55,5. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
Пусть \(b_1\) — первый член прогрессии, \(q\) — знаменатель. По условию:
\(\frac{b_1}{1-q} = 96\) — сумма бесконечной прогрессии,
\(\frac{b_1(q^3 — 1)}{q — 1} = 55,5\) — сумма первых трёх членов.
Выразим \(b_1\) из первого уравнения:
\(b_1 = 96(1-q)\).
Подставим во второе:
\(96(1-q) \cdot \frac{q^3 — 1}{q — 1} = 55,5\).
Упростим:
\(96(1-q)(q^3 — 1) = 55,5(q — 1)\).
Так как \(q \neq 1\), сократим на \((q-1)\):
\(96(q^3 — 1) = -55,5\).
Решаем кубическое уравнение:
\(96q^3 — 96 = -55,5 \Rightarrow 96q^3 = 40,5 \Rightarrow q^3 = \frac{40,5}{96} = \frac{27}{64}\).
Отсюда:
\(q = \frac{3}{4}\).
Подставляем \(q\) в \(b_1 = 96(1-q)\):
\(b_1 = 96 \cdot \frac{1}{4} = 24\).
Ответ: \(b_1 = 24\), \(q = \frac{3}{4}\).
1. Пусть \(b_1\) — первый член геометрической прогрессии, \(q\) — её знаменатель.
2. По условию сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 96, значит
\( \frac{b_1}{1-q} = 96 \), где \( |q| < 1 \). 3. Сумма первых трёх членов прогрессии равна 55,5, следовательно
\( b_1 + b_1q + b_1q^2 = 55,5 \). 4. Формула суммы первых трёх членов:
\( S_3 = b_1 \frac{1 - q^3}{1 - q} = 55,5 \). 5. Из первого уравнения выразим \(b_1\):
\( b_1 = 96(1 - q) \). 6. Подставим \(b_1\) во второе уравнение:
\( 96(1 - q) \frac{1 - q^3}{1 - q} = 55,5 \). 7. Сократим на \(1 - q\) (так как \(q \neq 1\)):
\( 96 (1 - q^3) = 55,5 \). 8. Перепишем \(1 - q^3 = (1 - q)(1 + q + q^2)\), но поскольку сократили на \(1 - q\), осталось:
\( 96 (1 + q + q^2) = 55,5 \). 9. Решим уравнение:
\( 96 + 96q + 96q^2 = 55,5 \),
\( 96q^2 + 96q + (96 - 55,5) = 0 \),
\( 96q^2 + 96q + 40,5 = 0 \). 10. Разделим на 1,5 для упрощения:
\( 64q^2 + 64q + 27 = 0 \). 11. Найдём дискриминант:
\( D = 64^2 - 4 \cdot 64 \cdot 27 = 4096 - 6912 = -2816 < 0 \). 12. Дискриминант отрицательный, значит ошибка в промежуточных вычислениях. Вернёмся к шагу 7. 13. Верно:
\( 96(1 - q^3) = 55,5 \), значит
\( 96 - 96 q^3 = 55,5 \),
\( -96 q^3 = 55,5 - 96 = -40,5 \),
\( q^3 = \frac{40,5}{96} = \frac{27}{64} \). 14. Извлечём корень:
\( q = \frac{3}{4} \). 15. Подставим \(q\) в \( b_1 = 96(1 - q) \):
\( b_1 = 96 \left(1 - \frac{3}{4}\right) = 96 \cdot \frac{1}{4} = 24 \). Ответ: \(b_1 = 24\), \(q = \frac{3}{4}\).
