ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 3 Номер 1 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Заполните пропуски.
1) Если \(a > b\) и \(c > d\), то \(a + c \_\_\_ b + d\).
2) При почленном сложении верных неравенств одного знака результатом является _______________________________ .
3) Если \(a > b\), \(c > d\) и \(a, b, c, d\) — числа, то \(ac \_\_\_ bd\).
4) При почленном умножении верных неравенств одного знака, у которых левые и правые части — ___________ числа, результатом является __________________________________ .
5) Если \(a > b\) и \(a, b\) — положительные числа, то \(a^n \_\_\_ b^n\), где \(n\) — натуральное число.

1) Если \(a > b\) и \(c > d\), то \(a + c > b + d\).
2) При почленном сложении верных неравенств одного знака результатом является верное неравенство того же знака.
3) Если \(a > b\), \(c > d\) и \(a, b, c, d\) — положительные числа, то \(ac > bd\).
4) При почленном умножении верных неравенств одного знака, у которых левые и правые части — положительные числа, результатом является верное неравенство того же знака.
5) Если \(a > b\) и \(a, b\) — положительные числа, то \(a^{n} > b^{n}\), где \(n\) — натуральное число.

Когда мы сравниваем два неравенства одного знака, например, \(a > b\) и \(c > d\), это означает, что каждое из чисел \(a\) и \(c\) больше, чем соответствующие им числа \(b\) и \(d\). Если мы сложим левые части этих неравенств и отдельно сложим правые части, то получим новое неравенство: \(a + c > b + d\). Это работает потому, что если каждое слагаемое в левой части больше соответствующего слагаемого в правой части, то и сумма левых частей будет больше суммы правых. Например, если \(a = 5\), \(b = 3\), \(c = 7\), \(d = 2\), то \(5 > 3\) и \(7 > 2\), а значит \(5 + 7 = 12 > 3 + 2 = 5\).

Когда складывают несколько верных неравенств одного знака, результат также будет верным неравенством того же знака. Это правило справедливо для любого количества неравенств. Например, пусть есть три неравенства: \(a > b\), \(c > d\), \(e > f\). Складывая их почленно, получаем \(a + c + e > b + d + f\). Это правило часто используется в математике для оценки выражений, где требуется установить границу для суммы нескольких величин. Главное условие — все неравенства должны быть одного знака, то есть все либо больше, либо меньше.

Если рассматривать умножение неравенств, то здесь есть важное ограничение: все числа должны быть положительными. Пусть \(a > b\) и \(c > d\), где \(a, b, c, d\) — положительные числа. Тогда при умножении \(ac > bd\). Это связано с тем, что умножение на положительное число сохраняет знак неравенства. Например, если \(a = 4\), \(b = 2\), \(c = 5\), \(d = 3\), то \(4 > 2\) и \(5 > 3\), значит \(4 \cdot 5 = 20 > 2 \cdot 3 = 6\). Но если хотя бы одно число отрицательное, правило может не работать, так как умножение на отрицательное число меняет знак неравенства.

При почленном умножении нескольких неравенств одного знака, у которых все левые и правые части — положительные числа, результатом также будет верное неравенство того же знака. Например, пусть есть два неравенства: \(a > b\) и \(c > d\), где все числа положительные. Тогда \(a \cdot c > b \cdot d\). Если есть три неравенства: \(a > b\), \(c > d\), \(e > f\), где все числа положительные, то \(a \cdot c \cdot e > b \cdot d \cdot f\). Это свойство часто используют при оценке произведений выражений.

Если \(a > b\), и оба числа положительные, то возведение их в одинаковую натуральную степень \(n\) также сохраняет знак неравенства: \(a^{n} > b^{n}\), где \(n\) — натуральное число. Это объясняется тем, что при возведении положительного числа в степень результат всегда положителен и чем больше основание, тем больше результат. Например, если \(a = 3\), \(b = 2\), \(n = 4\), то \(3^{4} = 81 > 2^{4} = 16\). Это правило справедливо только для положительных чисел и натуральных показателей степени.