ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 3 Номер 10 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Дано: \( \frac{1}{6} < m < \frac{2}{3} \) и \( \frac{1}{3} < n < 1 \). Оцените значение выражения: 1) \(12m + 3n\); 2) \(6m — 9n\).

Дано: \( \frac{1}{6} < m < \frac{2}{3} \) и \( \frac{1}{3} < n < 1 \).

1) Умножим каждую часть неравенства \( \frac{1}{6} < m < \frac{2}{3} \) на 12:
\( \frac{1}{6} \cdot 12 < 12m < \frac{2}{3} \cdot 12 \)
\( 2 < 12m < 8 \).

Умножим каждую часть неравенства \( \frac{1}{3} < n < 1 \) на 3:
\( \frac{1}{3} \cdot 3 < 3n < 1 \cdot 3 \)
\( 1 < 3n < 3 \).

Сложим почленно полученные неравенства:
\( 2 < 12m < 8 \)
\( 1 < 3n < 3 \)
\( 3 < 12m + 3n < 11 \).

2) Умножим каждую часть неравенства \( \frac{1}{6} < m < \frac{2}{3} \) на 6:
\( \frac{1}{6} \cdot 6 < 6m < \frac{2}{3} \cdot 6 \)
\( 1 < 6m < 4 \).

Умножим каждую часть неравенства \( \frac{1}{3} < n < 1 \) на \(-9\):
\( \frac{1}{3} \cdot (-9) > -9n > 1 \cdot (-9) \)
\( -3 > -9n > -9 \).

Сложим почленно полученные неравенства:
\( 1 < 6m < 4 \)
\( -9 < -9n < -3 \)
\( -8 < 6m — 9n < 1 \).

Дано неравенство \( \frac{1}{6} < m < \frac{2}{3} \), где переменная \( m \) находится между двумя дробными числами. Чтобы оценить выражение \( 12m + 3n \), сначала нужно умножить каждую часть неравенства на 12, так как коэффициент перед \( m \) в первом слагаемом равен 12. При умножении неравенств на положительное число знак неравенства сохраняется, поэтому получаем: \( \frac{1}{6} \cdot 12 < 12m < \frac{2}{3} \cdot 12 \), что равно \( 2 < 12m < 8 \). Это значит, что значение \( 12m \) лежит в интервале от 2 до 8.

Аналогично для переменной \( n \), заданной неравенством \( \frac{1}{3} < n < 1 \), умножаем каждую часть на 3, потому что во втором слагаемом выражения коэффициент равен 3. При умножении на положительное число знак неравенства сохраняется, и получаем: \( \frac{1}{3} \cdot 3 < 3n < 1 \cdot 3 \), что даёт \( 1 < 3n < 3 \). Теперь у нас есть два новых неравенства: \( 2 < 12m < 8 \) и \( 1 < 3n < 3 \).

Чтобы найти границы для суммы \( 12m + 3n \), складываем почленно обе части неравенств: левая часть \( 2 + 1 = 3 \), средняя часть \( 12m + 3n \), правая часть \( 8 + 3 = 11 \). Получаем новое неравенство \( 3 < 12m + 3n < 11 \), которое показывает, что значение выражения \( 12m + 3n \) находится между 3 и 11.

Для второго выражения \( 6m — 9n \) также используем исходные неравенства. Умножаем каждую часть неравенства для \( m \), \( \frac{1}{6} < m < \frac{2}{3} \), на 6: \( \frac{1}{6} \cdot 6 < 6m < \frac{2}{3} \cdot 6 \), что даёт \( 1 < 6m < 4 \). Для переменной \( n \) умножаем каждую часть неравенства \( \frac{1}{3} < n < 1 \) на \(-9\). При умножении на отрицательное число знаки неравенств меняются на противоположные, поэтому: \( \frac{1}{3} \cdot (-9) > -9n > 1 \cdot (-9) \), что даёт \( -3 > -9n > -9 \). Можно переписать как \( -9 < -9n < -3 \).

Складываем почленно неравенства для \( 6m \) и \( -9n \): левая часть \( 1 + (-9) = -8 \), средняя часть \( 6m — 9n \), правая часть \( 4 + (-3) = 1 \). Получаем неравенство \( -8 < 6m — 9n < 1 \), которое определяет возможные значения выражения \( 6m — 9n \).

Таким образом, для данных ограничений на \( m \) и \( n \) мы получили оценки для двух выражений: \( 12m + 3n \) находится между 3 и 11, а \( 6m — 9n \) — между \(-8\) и 1. Эти оценки позволяют понять, в каких пределах лежат значения выражений, не вычисляя их точно, что полезно при анализе и решении неравенств.