ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 3 Номер 11 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Сравните значения выражений.
1) \(\frac{3}{15}\) и \(28 \times 5\);
2) \(6 \times 10\) и \(2 \times 25\).

1) \(3^{15}\) и \(28^{5}\).
Имеем: \(3^{15} = (3^{3})^{5} = 27^{5}\).
Так как \(27^{5} < 28^{5}\), то \(3^{15} < 28^{5}\).
Ответ: \(3^{15} < 28^{5}\).

2) \(6^{10}\) и \(2^{25}\).
Имеем:
\(6^{10} = (6^{2})^{5} = 36^{5}\);
\(2^{25} = (2^{5})^{5} = 32^{5}\).
Так как \(36^{5} > 32^{5}\), то \(6^{10} > 2^{25}\).
Ответ: \(6^{10} > 2^{25}\).

Рассмотрим сначала сравнение чисел \(3^{15}\) и \(28^{5}\). На первый взгляд, сравнивать такие большие степени напрямую сложно, поэтому применим свойства степеней, чтобы упростить задачу. Обратим внимание, что показатель степени у \(3^{15}\) равен 15, а у \(28^{5}\) — 5. Чтобы удобнее было сравнивать, выразим \(3^{15}\) в виде степени с показателем 5, используя правило степеней: \(a^{mn} = (a^{m})^{n}\). В нашем случае \(3^{15} = (3^{3})^{5}\), так как \(15 = 3 \times 5\). Вычислим \(3^{3}\), получим 27, значит \(3^{15} = 27^{5}\).

Теперь сравним \(27^{5}\) и \(28^{5}\). Поскольку основания 27 и 28 являются положительными числами, и показатель степени у них одинаковый (5), можно просто сравнить основания. Ясно, что \(27 < 28\), следовательно, \(27^{5} < 28^{5}\). Из этого следует, что \(3^{15} < 28^{5}\). Такой подход позволяет избежать вычисления огромных чисел и использовать свойства степеней для упрощения сравнения.

Перейдем ко второй части задачи, где нужно сравнить \(6^{10}\) и \(2^{25}\). Аналогично, у нас разные показатели степени, поэтому преобразуем выражения так, чтобы показатели стали одинаковыми. Для \(6^{10}\) заметим, что \(10 = 2 \times 5\), значит \(6^{10} = (6^{2})^{5} = 36^{5}\). Для \(2^{25}\) используем разложение \(25 = 5 \times 5\), тогда \(2^{25} = (2^{5})^{5} = 32^{5}\). Теперь сравним \(36^{5}\) и \(32^{5}\). Поскольку 36 больше 32, при одинаковом показателе степени 5, \(36^{5} > 32^{5}\). Следовательно, \(6^{10} > 2^{25}\). Этот метод позволяет сравнивать степени с разными показателями, сводя их к одинаковому показателю и сравнивая основания.