ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 3 Номер 12 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите наибольшее значение выражения \( \frac{a^2}{b-2} \), если \( 2 \leq a \leq 3 \) и \( 5 \leq b \leq 6 \).

Поскольку \(2 \leq a \leq 3\), то \(4 \leq a^2 \leq 9\).
Поскольку \(5 \leq b \leq 6\), то \(3 \leq b — 2 \leq 4\);
\(\frac{1}{4} \leq \frac{1}{b-2} \leq \frac{1}{3}\).
Имеем:
\(4 \leq a^2 \leq 9\)
\(\times \frac{1}{4} \leq \frac{1}{b-2} \leq \frac{1}{3}\)
\(1 \leq \frac{a^2}{b-2} \leq 3\).
Ответ: наибольшее значение выражения равно 3.

Для начала рассмотрим переменную \(a\). По условию задачи \(a\) ограничена интервалом от 2 до 3, то есть \(2 \leq a \leq 3\). Если возвести эти неравенства в квадрат, то получим диапазон значений для \(a^2\): \(2^2 \leq a^2 \leq 3^2\), что равно \(4 \leq a^2 \leq 9\). Таким образом, квадрат переменной \(a\) изменяется в пределах от 4 до 9.

Далее рассмотрим переменную \(b\), которая ограничена интервалом от 5 до 6: \(5 \leq b \leq 6\). Из этого следует, что \(b — 2\) изменяется в пределах \(5 — 2 \leq b — 2 \leq 6 — 2\), то есть \(3 \leq b — 2 \leq 4\). Теперь обратим внимание на выражение, в котором знаменатель — это \(b — 2\). Чтобы упростить анализ, рассмотрим обратные значения: \(\frac{1}{b-2}\). Поскольку \(b-2\) принимает значения от 3 до 4, то \(\frac{1}{b-2}\) будет изменяться от \(\frac{1}{4}\) (при \(b-2=4\)) до \(\frac{1}{3}\) (при \(b-2=3\)). Значит, \(\frac{1}{4} \leq \frac{1}{b-2} \leq \frac{1}{3}\).

Теперь объединим найденные границы для \(a^2\) и \(\frac{1}{b-2}\), чтобы оценить значение выражения \(\frac{a^2}{b-2}\). Это выражение можно переписать как произведение \(a^2 \times \frac{1}{b-2}\). Из свойств неравенств следует, что произведение двух положительных чисел, каждое из которых ограничено снизу и сверху, будет иметь минимальное значение при минимальных значениях множителей, а максимальное — при максимальных значениях. Следовательно, минимальное значение выражения равно \(4 \times \frac{1}{4} = 1\), а максимальное — \(9 \times \frac{1}{3} = 3\). Таким образом, получаем неравенство \(1 \leq \frac{a^2}{b-2} \leq 3\). Наибольшее значение выражения равно 3.