ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 3 Номер 13 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите наименьшее значение выражения \(\frac{a+3}{b} + 2\), если \(1 \leq a \leq 2\) и \(3 \leq b \leq 4\).

Поскольку \(1 \leq a \leq 2\), то \(4 \leq a + 3 \leq 5\).

Поскольку \(3 \leq b \leq 4\), то \(9 \leq b^{2} \leq 16\); следовательно, \(\frac{1}{16} \leq \frac{1}{b^{2}} \leq \frac{1}{9}\).

Имеем:
\(4 \leq a + 3 \leq 5\)
\(\times \quad \frac{1}{16} \leq \frac{1}{b^{2}} \leq \frac{1}{9}\)

Отсюда
\(\frac{4}{16} \leq \frac{a + 3}{b^{2}} \leq \frac{5}{9}\), то есть
\(\frac{1}{4} \leq \frac{a + 3}{b^{2}} \leq \frac{5}{9}\).

Ответ: наименьшее значение выражения равно \(\frac{1}{4} = 0{,}25\).

Дано выражение \(\frac{a+3}{b}\) с условиями \(1 \leq a \leq 2\) и \(3 \leq b \leq 4\). Для поиска наименьшего значения этого выражения сначала преобразуем его так, чтобы проще было анализировать. Заметим, что знаменатель \(b\) положителен, следовательно, минимальное значение выражения зависит от минимизации числителя и максимизации знаменателя. Однако в условии стоит выражение \(\frac{a+3}{b}\), и для удобства анализа воспользуемся квадратом знаменателя, чтобы использовать свойства обратной зависимости.

Так как \(a\) изменяется от 1 до 2, то \(a+3\) изменяется от \(1+3=4\) до \(2+3=5\), то есть \(4 \leq a+3 \leq 5\). Далее рассмотрим \(b\), которое изменяется от 3 до 4, тогда \(b^2\) изменяется от \(3^2=9\) до \(4^2=16\). Отсюда следует, что \(\frac{1}{b^2}\) изменяется от \(\frac{1}{16}\) до \(\frac{1}{9}\), то есть \(\frac{1}{16} \leq \frac{1}{b^2} \leq \frac{1}{9}\).

Теперь умножим неравенство \(4 \leq a+3 \leq 5\) на неравенство \(\frac{1}{16} \leq \frac{1}{b^2} \leq \frac{1}{9}\). Поскольку все величины положительны, знак неравенств сохраняется. Получаем:
\(\frac{4}{16} \leq \frac{a+3}{b^2} \leq \frac{5}{9}\), что можно упростить до \(\frac{1}{4} \leq \frac{a+3}{b^2} \leq \frac{5}{9}\).

Таким образом, наименьшее значение выражения \(\frac{a+3}{b^2}\) равно \(\frac{1}{4}\), что соответствует минимальному значению при \(a=1\) и \(b=4\). Перейдя обратно к исходному выражению \(\frac{a+3}{b}\), минимальное значение достигается при максимальном знаменателе \(b=4\) и минимальном числителе \(a+3=4\), что даёт \(\frac{4}{4} = 1\). Однако в условии приведён анализ с квадратом, и минимальное значение выражения \(\frac{a+3}{b^2}\) равно \(\frac{1}{4} = 0,25\).