ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 3 Номер 3 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Дано: \(-4 < m < 6\). Оцените значение выражения.
1) \(1{,}5m\)
2) \(3 — \frac{1}{4}m\)
3) \(2m — 7\)
4) \(-5m + 6\).

№ 3.

Дано: \(-4 < m < 6\).

1) Умножив каждую часть неравенства \(-4 < m < 6\) на \(1{,}5\) получаем: \(-4 < m < 6\) \(| \cdot 1{,}5\) \(-4 \cdot 1{,}5 < m \cdot 1{,}5 < 6 \cdot 1{,}5\) \(-6 < 1{,}5m < 9\).

2) Умножив каждую часть неравенства \(-4 < m < 6\) на \(-\frac{1}{4}\) и прибавив к каждой части полученного неравенства \(3\), имеем: \(-4 < m < 6\) \(| \cdot (-\frac{1}{4})\) \(-4 \cdot (-\frac{1}{4}) > -\frac{1}{4}m > 6 \cdot (-\frac{1}{4})\) \(1 > -\frac{1}{4}m > -1{,}5\) \(-1{,}5 < -\frac{1}{4}m < 1 \quad | +3\) \(-1{,}5 + 3 < -\frac{1}{4}m + 3 < 1 + 3\) \(1{,}5 < 3 — \frac{1}{4}m < 4\).

3) Умножив каждую часть неравенства \(-4 < m < 6\) на \(2\) и отняв из каждой части полученного неравенства \(7\), имеем: \(-4 < m < 6\) \(| \cdot 2\) \(-4 \cdot 2 < 2m < 6 \cdot 2\) \(-8 < 2m < 12\) \(| -7\) \(-8 — 7 < 2m — 7 < 12 — 7\) \(-15 < 2m — 7 < 5\).

4) Умножив каждую часть неравенства \(-4 < m < 6\) на \(-5\) и прибавив к каждой части полученного неравенства \(6\), имеем: \(-4 < m < 6\) \(| \cdot (-5)\) \(-4 \cdot (-5) > -5m > 6 \cdot (-5)\) \(20 > -5m > -30\) \(| +6\) \(20 + 6 > -5m + 6 > -30 + 6\) \(26 > -5m + 6 > -24\).

В первом пункте требуется оценить выражение \(1{,}5m\), если известно, что \(-4 < m < 6\). Для этого умножаем каждую часть неравенства на \(1{,}5\). При умножении неравенства на положительное число знак неравенства не меняется. Получаем: \(-4 \cdot 1{,}5 < m \cdot 1{,}5 < 6 \cdot 1{,}5\). Это преобразуется в \(-6 < 1{,}5m < 9\). Значит, при любых допустимых \(m\) выражение \(1{,}5m\) всегда будет находиться между \(-6\) и \(9\). Такой подход позволяет быстро оценить линейное выражение при известных границах переменной.

Во втором пункте требуется оценить выражение \(3 — \frac{1}{4}m\). Чтобы это сделать, сначала умножаем исходное неравенство \(-4 < m < 6\) на \(-\frac{1}{4}\). При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: \(-4 \cdot (-\frac{1}{4}) > -\frac{1}{4}m > 6 \cdot (-\frac{1}{4})\). Получаем \(1 > -\frac{1}{4}m > -1{,}5\). Теперь к каждому члену этого неравенства прибавляем \(3\): \(1 + 3 > -\frac{1}{4}m + 3 > -1{,}5 + 3\). Выражение \(3 — \frac{1}{4}m\) равносильно \(-\frac{1}{4}m + 3\), поэтому итоговое неравенство: \(4 > 3 — \frac{1}{4}m > 1{,}5\), или в привычном виде \(1{,}5 < 3 — \frac{1}{4}m < 4\). Это значит, что при любых \(m\) из исходного диапазона значение выражения ограничено этими границами.

В третьем пункте нужно оценить \(2m — 7\). Сначала умножаем исходное неравенство на \(2\): \(-4 \cdot 2 < 2m < 6 \cdot 2\), получаем \(-8 < 2m < 12\). Далее из всех частей неравенства вычитаем \(7\): \(-8 — 7 < 2m — 7 < 12 — 7\), что даёт \(-15 < 2m — 7 < 5\). Значит, при всех допустимых \(m\) значение выражения \(2m — 7\) всегда лежит между \(-15\) и \(5\).

В четвёртом пункте требуется оценить выражение \(-5m + 6\). Умножаем исходное неравенство на \(-5\), при этом меняем знаки неравенств: \(-4 \cdot (-5) > -5m > 6 \cdot (-5)\), получаем \(20 > -5m > -30\). Теперь прибавляем \(6\) ко всем частям: \(20 + 6 > -5m + 6 > -30 + 6\), то есть \(26 > -5m + 6 > -24\). Таким образом, при любых \(m\) из исходного диапазона значение \(-5m + 6\) всегда будет между \(-24\) и \(26\).

В каждом из пунктов применяется одинаковый алгоритм: сначала линейное преобразование исходного неравенства (умножение на константу, сложение или вычитание числа), затем корректировка знаков неравенства, если множитель отрицательный, и, наконец, арифметические операции с границами интервала. Такой подход позволяет быстро и точно оценивать диапазоны значений линейных выражений при известных ограничениях на переменную.