ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 3 Номер 7 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Оцените площадь прямоугольного треугольника с катетами \(a\) см и 6 см, если \(6 \leq a \leq 9\) и \(5 \leq b \leq 10\).

Площадь \(S\) прямоугольного треугольника можно найти по формуле \(S = \frac{1}{2} ab\), где \(a\) и \(b\) – длины его катетов.
Умножив почленно данные неравенства, получаем:
\(6 \leq a \leq 9\)
\(5 \leq b \leq 10\)
\(30 \leq ab \leq 90\).
Умножив каждый член полученного неравенства на \(\frac{1}{2}\), получаем:
\(30 \cdot \frac{1}{2} \leq \frac{1}{2} ab \leq 90 \cdot \frac{1}{2}\)
\(15 \leq S \leq 45\).

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле \(S = \frac{1}{2} ab\), где \(a\) и \(b\) — длины катетов. В задаче даны интервалы для этих катетов: \(6 \leq a \leq 9\) и \(5 \leq b \leq 10\). Это означает, что длина первого катета может принимать любое значение от 6 до 9 сантиметров, а второго — от 5 до 10 сантиметров. Чтобы определить диапазон возможных значений площади, нужно рассмотреть произведение \(ab\), так как площадь зависит именно от произведения длин катетов.

Для нахождения границ произведения \(ab\) умножаем нижние и верхние границы каждого интервала почленно. Нижняя граница произведения будет равна произведению минимальных значений: \(6 \times 5 = 30\). Верхняя граница — произведение максимальных значений: \(9 \times 10 = 90\). Таким образом, произведение \(ab\) находится в интервале от 30 до 90, то есть \(30 \leq ab \leq 90\). Это неравенство показывает, что произведение длин катетов не может быть меньше 30 и не может превышать 90 при заданных ограничениях.

Следующим шагом является умножение всего неравенства на \(\frac{1}{2}\), так как площадь \(S\) равна половине произведения катетов. Умножая каждую часть неравенства \(30 \leq ab \leq 90\) на \(\frac{1}{2}\), получаем \(30 \cdot \frac{1}{2} \leq \frac{1}{2} ab \leq 90 \cdot \frac{1}{2}\), что упрощается до \(15 \leq S \leq 45\). Это означает, что площадь прямоугольного треугольника при заданных длинах катетов может принимать значения от 15 до 45 квадратных сантиметров. Такой подход позволяет определить диапазон возможных площадей, учитывая ограничения на размеры катетов.