ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 3 Номер 8 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Дано: \(a > 0,8\) и \(b > 1,4\). Сравните.
1) \((a + 0,4)(b — 0,6)\) и \(0,9\)
2) \((a + b)^2\) и \(4,4\).

№ 8.
Дано: \(a > 0,8\) и \(b > 1,4\).
1) \((a + 0,4)(b — 0,6)\) и \(0,9\).
Имеем:
\(a > 0,8 \quad | + 0,4\)
\(a + 0,4 > 0,8 + 0,4\)
\(a + 0,4 > 1,2.\)

\(b > 1,4 \quad |- 0,6\)
\(b — 0,6 > 1,4 — 0,6\)
\(b — 0,6 > 0,8.\)

\(\begin{cases} a + 0,4 > 1,2 \\ b — 0,6 > 0,8 \end{cases}\)

\((a + 0,4)(b — 0,6) > 0,96.\)
Поскольку \((a + 0,4)(b — 0,6) > 0,96\), а \(0,96 > 0,9\), то
\((a + 0,4)(b — 0,6) > 0,9.\)

2) \((a + b)^2\) и \(4,4.\)
Сложим почленно данные неравенства:
\(\begin{cases} a > 0,8 \\ b > 1,4 \end{cases}\)
\(a + b > 2,2.\)

Возведем в квадрат каждую часть полученного неравенства:
\((a + b)^2 > 2,2^2 \Rightarrow (a + b)^2 > 4,84.\)

Поскольку \((a + b)^2 > 4,84\), а \(4,84 > 4,4\), то
\((a + b)^2 > 4,4.\)

Дано, что \(a > 0,8\) и \(b > 1,4\). Нам нужно сравнить два выражения: первое — \((a + 0,4)(b — 0,6)\) с числом \(0,9\), и второе — \((a + b)^2\) с числом \(4,4\). Начнем с первого сравнения. Из условия мы знаем, что \(a\) строго больше \(0,8\). Если к обеим частям этого неравенства прибавить \(0,4\), то неравенство сохранится, так как прибавление положительного числа не меняет знак. Получаем \(a + 0,4 > 0,8 + 0,4\), то есть \(a + 0,4 > 1,2\). Аналогично для \(b\), из условия \(b > 1,4\). Если отнять с обеих сторон \(0,6\), то знак неравенства также не изменится, и получится \(b — 0,6 > 1,4 — 0,6\), то есть \(b — 0,6 > 0,8\).

Теперь рассмотрим произведение \((a + 0,4)(b — 0,6)\). Поскольку оба множителя больше соответствующих чисел, а именно \(a + 0,4 > 1,2\) и \(b — 0,6 > 0,8\), произведение будет строго больше произведения этих чисел, то есть \((a + 0,4)(b — 0,6) > 1,2 \times 0,8 = 0,96\). Теперь нужно сравнить \(0,96\) и \(0,9\). Очевидно, что \(0,96 > 0,9\), следовательно, \((a + 0,4)(b — 0,6) > 0,9\). Таким образом, первое сравнение показывает, что выражение \((a + 0,4)(b — 0,6)\) больше \(0,9\).

Переходим ко второму сравнению: \((a + b)^2\) и \(4,4\). Из исходных данных \(a > 0,8\) и \(b > 1,4\), складываем эти неравенства почленно: \(a + b > 0,8 + 1,4\), то есть \(a + b > 2,2\). Теперь возьмем квадрат обеих частей неравенства. Поскольку обе части положительны, знак неравенства сохраняется при возведении в квадрат: \((a + b)^2 > 2,2^2\), то есть \((a + b)^2 > 4,84\). Далее сравним \(4,84\) и \(4,4\): \(4,84 > 4,4\), значит \((a + b)^2 > 4,4\). Это доказывает, что второе выражение больше заданного числа.

Итог: первое выражение \((a + 0,4)(b — 0,6)\) строго больше \(0,9\), а второе выражение \((a + b)^2\) строго больше \(4,4\). В обоих случаях мы использовали свойства неравенств и арифметические операции, которые сохраняют знак неравенства, что позволило нам сделать правильные выводы.