ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 3 Номер 9 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Дано: \(7 < a < 8\) и \(12 < b < 14\). Оцените значение выражения.
1) \(\frac{b}{a}\);
2) \(\frac{a}{b}\).

Дано: \(7 < a < 8\) и \(12 < b < 14\).

1) Поскольку \(7 < a < 8\), то \( \frac{1}{8} < \frac{1}{a} < \frac{1}{7} \).

Имеем:
\(12 < b < 14\)
\(\times \quad \frac{1}{8} < \frac{1}{a} < \frac{1}{7}\)
Получаем:
\(\frac{12}{8} < \frac{b}{a} < \frac{14}{7}\), то есть
\(1,5 < \frac{b}{a} < 2\).

2) Поскольку \(12 < b < 14\), то \(\frac{1}{14} < \frac{1}{b} < \frac{1}{12}\).

Имеем:
\(7 < a < 8\)
\(\times \quad \frac{1}{14} < \frac{1}{b} < \frac{1}{12}\)
Получаем:
\(\frac{7}{14} < \frac{a}{b} < \frac{8}{12}\), то есть
\(\frac{1}{2} < \frac{a}{b} < \frac{2}{3}\).

Дано, что \(7 < a < 8\) и \(12 < b < 14\). Рассмотрим сначала выражение \(\frac{b}{a}\). Для этого важно понять, как можно оценить дробь, если известны интервалы для числителя и знаменателя. Поскольку \(a\) находится между 7 и 8, то его обратная величина \(\frac{1}{a}\) будет лежать между \(\frac{1}{8}\) и \(\frac{1}{7}\), потому что функция \(f(x) = \frac{1}{x}\) убывает на положительных числах — чем больше \(a\), тем меньше \(\frac{1}{a}\). Таким образом, мы записываем неравенство: \(\frac{1}{8} < \frac{1}{a} < \frac{1}{7}\).

Далее для числителя \(b\) известно, что он лежит между 12 и 14, то есть \(12 < b < 14\). Чтобы найти границы для выражения \(\frac{b}{a}\), умножаем неравенство для \(b\) на неравенство для \(\frac{1}{a}\), учитывая, что все числа положительные, и порядок неравенств сохраняется. Получаем: \(12 \times \frac{1}{8} < \frac{b}{a} < 14 \times \frac{1}{7}\), или после вычислений \(1,5 < \frac{b}{a} < 2\). Это значит, что значение выражения \(\frac{b}{a}\) обязательно лежит между 1,5 и 2.

Теперь рассмотрим второе выражение \(\frac{a}{b}\). Из условия \(12 < b < 14\) следует, что \(\frac{1}{b}\) лежит между \(\frac{1}{14}\) и \(\frac{1}{12}\), так как функция \(f(x) = \frac{1}{x}\) убывает на положительных числах. Значит, \(\frac{1}{14} < \frac{1}{b} < \frac{1}{12}\). Умножая это неравенство на \(a\), которое находится между 7 и 8, получаем: \(7 \times \frac{1}{14} < \frac{a}{b} < 8 \times \frac{1}{12}\), или \(\frac{7}{14} < \frac{a}{b} < \frac{8}{12}\). Упростив дроби, получаем \(\frac{1}{2} < \frac{a}{b} < \frac{2}{3}\). Это означает, что значение выражения \(\frac{a}{b}\) обязательно находится между \(\frac{1}{2}\) и \(\frac{2}{3}\).

Таким образом, используя свойства убывающей функции \(f(x) = \frac{1}{x}\) и правила умножения неравенств на положительные числа, мы получили точные границы для значений выражений \(\frac{b}{a}\) и \(\frac{a}{b}\), исходя из заданных интервалов для \(a\) и \(b\).