ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 4 Номер 5 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Решите неравенство:
1) \(\frac{4}{(x-3)^2} + 1 > 0\);
2) \(\frac{x-5}{x-5} \; ? \; 0\);
3) \(\frac{x+6}{x+6} \; ? \; 1\);
4) \(\frac{x+3}{(x-6)^2} \; ? \; 0\);
5) \(\frac{x+3}{(x-6)^2} > 0\);
6) \(x + \frac{4}{x-7} > 3 + \frac{4}{x-7}\).

1) \(\frac{4}{(x-3)^2} + 1 > 0.\)
Ответ: \(x\) — любое число, кроме 3.

2) \(\frac{x-5}{x-5} \geq 0.\)
Ответ: \(x\) — любое число, кроме 5.

3) \(\frac{x+6}{x+6} \leq 1.\)
Ответ: \(x\) — любое число, кроме \(-6\).

4) \(\left(\frac{x+3}{x-6}\right)^2 \geq 0.\)
Ответ: \(x\) — любое число, кроме 6.

5) \(\left(\frac{x+3}{x-6}\right)^2 > 0.\)
Ответ: \(x\) — любое число, кроме \(-3\) и 6.

6) \(x + \frac{4}{x-7} > 3 + \frac{4}{x-7}.\)
Ответ: \(x > 3,\) кроме 7.

1) Рассмотрим неравенство \(\frac{4}{(x-3)^2} + 1 > 0.\) В знаменателе стоит квадрат выражения \((x-3)^2\), который всегда неотрицателен и равен нулю только при \(x=3\). При этом, дробь \(\frac{4}{(x-3)^2}\) всегда положительна, когда \(x \neq 3\), так как числитель 4 положителен. При \(x=3\) выражение не определено из-за деления на ноль. Слагаемое \(+1\) добавляет к выражению положительное число, следовательно, сумма всегда больше нуля для всех \(x \neq 3\). Таким образом, решением является множество всех чисел, кроме точки \(x=3\), где функция не определена.

2) Неравенство \(\frac{x-5}{x-5} \geq 0\) требует внимательного подхода. Выражение \(\frac{x-5}{x-5}\) определено при всех \(x\), кроме \(x=5\), так как в знаменателе будет ноль. При \(x \neq 5\) дробь равна 1, так как числитель и знаменатель совпадают и не равны нулю. Следовательно, \(\frac{x-5}{x-5} = 1 \geq 0\) для всех \(x \neq 5\). В точке \(x=5\) выражение не определено. Значит решением является множество всех чисел, кроме \(x=5\).

3) Для неравенства \(\frac{x+6}{x+6} \leq 1\) ситуация похожа. Выражение \(\frac{x+6}{x+6}\) определено при \(x \neq -6\). При \(x \neq -6\) дробь равна 1, так как числитель и знаменатель совпадают. Следовательно, \(\frac{x+6}{x+6} = 1 \leq 1\) выполняется для всех \(x \neq -6\). В точке \(x=-6\) выражение не определено. Значит решением будет множество всех чисел, кроме \(x=-6\).

4) Рассмотрим неравенство \(\left(\frac{x+3}{x-6}\right)^2 \geq 0.\) Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть выражение \(\left(\frac{x+3}{x-6}\right)^2\) не может быть меньше нуля. Единственная точка, в которой выражение не определено — это \(x=6\), так как знаменатель равен нулю. Таким образом, неравенство выполняется для всех \(x \neq 6\).

5) Для неравенства \(\left(\frac{x+3}{x-6}\right)^2 > 0\) нужно, чтобы выражение под квадратом было отличным от нуля. Квадрат равен нулю, если и только если числитель равен нулю, то есть \(x+3=0\), откуда \(x=-3\). Также выражение не определено при \(x=6\), так как знаменатель равен нулю. Следовательно, неравенство выполняется для всех \(x\), кроме \(x=-3\) и \(x=6\).

6) Рассмотрим неравенство \(x + \frac{4}{x-7} > 3 + \frac{4}{x-7}.\) Перенесём одинаковые дробные слагаемые в одну сторону: \(x + \frac{4}{x-7} — 3 — \frac{4}{x-7} > 0.\) Слагаемые \(\frac{4}{x-7}\) сократятся, останется \(x — 3 > 0.\) Значит \(x > 3.\) При этом \(x \neq 7\), так как в исходном выражении есть деление на \(x-7\). Таким образом, решением является множество \(x > 3\), исключая \(x=7\).