ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 4 Номер 6 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Поставьте в пустой клетке знак «+», если данные неравенства равносильны, или знак «-», если эти неравенства неравносильны.
1) \(x \mid ? — 0,5\) и \(\frac{1}{(x-2)^2} < 0\);
4) \(\frac{x^2+4}{x^2+4} ? 1\) и \(\frac{x+2+4}{x^2+4} > 0\);
2) \(x ? 5\) и \(x > 4\);
5) \(0x ? 4\) и \(0x 2-4\);
3) \(\sqrt{x} > 2\) и \(x^2 > 4\);
6) \(0x ? 4\) и \(0x ? -4\).

1) \(|x| \leq -0,5\) и \(\frac{1}{(x-2)^2} < 0\) +
2) \(x \geq 5\) и \(x > 4\) —
3) \(\sqrt{x} > 2\) и \(x^2 > 4\) —
4) \(\frac{x^2 + 4}{x^2 + 4} \geq 1\) и \(\frac{x^2 + 4}{x^2 + 4} > 0\) +
5) \(0x \geq 4\) и \(0x \leq -4\) +
6) \(0x \leq 4\) и \(0x \geq -4\) +

1) Неравенство \(|x| \leq -0,5\) невозможно, так как модуль числа всегда неотрицателен, то есть \(|x| \geq 0\) для любого \(x\). Следовательно, левая часть неравенства не может быть меньше или равна отрицательному числу \(-0,5\). Правая часть \(\frac{1}{(x-2)^2} < 0\) также невозможна, так как квадрат любого числа неотрицателен, и следовательно \((x-2)^2 \geq 0\), а обратная величина \(\frac{1}{(x-2)^2}\) положительна для всех \(x \neq 2\). Таким образом, обе части неравенств не имеют решений, что делает их равносильными, так как оба неравенства ложны для всех \(x\).

2) Рассмотрим неравенства \(x \geq 5\) и \(x > 4\). Первое неравенство включает все числа от 5 и больше, включая 5, а второе — все числа строго больше 4, то есть начиная с любого числа, большего 4, но не включая 4. Множество решений второго неравенства содержит в себе решения первого, но не совпадает с ним полностью, так как \(x = 4,5\) удовлетворяет \(x > 4\), но не удовлетворяет \(x \geq 5\). Следовательно, эти неравенства не равносильны, так как множества решений различны.

3) Неравенства \(\sqrt{x} > 2\) и \(x^2 > 4\) тоже не равносильны. Первое неравенство требует, чтобы \(x \geq 0\) (так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным) и \(\sqrt{x} > 2\), что эквивалентно \(x > 4\). Второе неравенство \(x^2 > 4\) означает, что \(x > 2\) или \(x < -2\). Таким образом, множество решений второго неравенства шире, чем первого, так как включает отрицательные числа меньше \(-2\). Следовательно, эти неравенства не равносильны.

4) Рассмотрим выражение \(\frac{x^2 + 4}{x^2 + 4}\). Поскольку \(x^2 + 4 > 0\) для всех \(x\), дробь равна 1 для всех \(x\). Неравенство \(\frac{x^2 + 4}{x^2 + 4} \geq 1\) тождественно истинно, так как дробь равна 1. Второе неравенство \(\frac{x^2 + 4}{x^2 + 4} > 0\) также истинно для всех \(x\), так как дробь равна 1. Следовательно, оба неравенства равносильны.

5) Неравенства \(0x \geq 4\) и \(0x \leq -4\) означают \(0 \geq 4\) и \(0 \leq -4\) соответственно, так как \(0x = 0\) для любого \(x\). Оба неравенства ложны, так как 0 не больше или равен 4 и не меньше или равен -4. Поскольку оба неравенства ложны для всех \(x\), они равносильны.

6) Аналогично, неравенства \(0x \leq 4\) и \(0x \geq -4\) означают \(0 \leq 4\) и \(0 \geq -4\), которые истинны для всех \(x\). Следовательно, оба неравенства истинны для всех \(x\), являются равносильными.