ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 5 Номер 1 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Заполните пропуски.
1) Если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части неравенства в другую, ____________________________, то получим неравенство, равносильное данному.
2) Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же ________________, то получим неравенство, равносильное данному.
3) Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число, ________________, то получим неравенство, равносильное данному.
4) Если решением неравенства является любое число, то промежуток, являющийся множеством решений неравенства, называют ________________ и записывают: ________________ (читают: «промежуток ________________»).
5) Линейными неравенствами с одной переменной называют неравенства вида ________________, ________________, ________________, ________________, где x — переменная, ________________ и ________________ — ________________.

1) Если какое -нибудь слагаемое перенести из одной части неравенства в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

2) Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному.

3) Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

4) Если решением неравенства является любое число, то промежуток, являющийся множеством решений неравенства, называют числовой прямой и записывают: \((-\infty; +\infty)\) (читают: «промежуток от минус бесконечности до плюс бесконечности»).

5) Линейными неравенствами с одной переменной называют неравенства вида \(ax > b\), \(ax < b\), \(ax \geq b\), \(ax \leq b\), где \(x\) — переменная, \(a\) и \(b\) — некоторые числа.

Когда мы решаем линейные неравенства с одной переменной, важно понимать основные правила преобразования неравенств, чтобы находить их решения корректно. Первое правило связано с переносом слагаемого из одной части неравенства в другую. Если нам нужно перенести слагаемое, например, из левой части неравенства \(a + x > b\) в правую, то мы должны изменить его знак на противоположный. Это значит, что \(a + x > b\) становится \(x > b — a\). Такой перенос не влияет на множество решений, если мы правильно изменили знак, поэтому полученное неравенство будет равносильно исходному. Это правило применимо для любых линейных неравенств, и его важно использовать при упрощении выражений и приведении подобных членов.

Второе правило касается умножения или деления обеих частей неравенства на одно и то же положительное число. Например, если дано неравенство \(3x < 12\), мы можем разделить обе части на 3 (положительное число), получив \(x < 4\). При умножении или делении на положительное число знак неравенства не меняется, потому что отношение между числами сохраняется. Это правило позволяет быстро и просто находить решения неравенств, когда коэффициент при переменной не равен единице. Важно помнить, что только положительное число не меняет порядок чисел, а значит, знак неравенства остается прежним.

Третье правило требует особого внимания: если обе части неравенства умножаются или делятся на одно и то же отрицательное число, то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. Например, если у нас есть неравенство \(-2x > 6\), чтобы найти \(x\), мы делим обе части на \(-2\), получаем \(x < -3\), то есть знак «больше» меняется на «меньше». Это связано с тем, что умножение на отрицательное число инвертирует числовую прямую: всё, что было больше, становится меньше, и наоборот. Если забыть поменять знак, решение будет неверным, поэтому этот шаг критически важен при работе с отрицательными коэффициентами.

Если решением неравенства является любое число, то множество решений составляет всю числовую прямую. В математике такой промежуток обозначают как \((-\infty; +\infty)\). Это значит, что переменная \(x\) может принимать абсолютно любые значения, и неравенство будет верным для каждого из них. Например, неравенство \(x^2 \geq 0\) выполняется для любого вещественного числа \(x\), так как квадрат любого числа неотрицателен. В таких случаях говорят, что решением неравенства является вся числовая прямая, и записывают это с помощью символов бесконечности.

Линейные неравенства с одной переменной имеют вид \(ax > b\), \(ax < b\), \(ax \geq b\), \(ax \leq b\), где \(x\) — переменная, а \(a\) и \(b\) — некоторые числа. Такие неравенства называются линейными, потому что переменная \(x\) входит в первую степень, без квадратов, кубов и других степеней. Решение таких неравенств сводится к изоляции переменной \(x\) с помощью описанных выше правил, и итоговое множество решений обычно записывается в виде числового промежутка, например, \(x > 2\) — это промежуток \((2; +\infty)\), а \(x \leq -1\) — это промежуток \((-\infty; -1]\). Если в процессе решения получается невозможное условие, например, \(0 > 5\), то множество решений будет пустым, и это записывается как \(\emptyset\).