ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 5 Номер 12 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

При каких значениях \(x\) имеет смысл выражение: 1) \(\sqrt{6x — 24}\); 2) \(\sqrt{1 — 8x}\); 3) \(\frac{6}{\sqrt{-3x-9}}\); 4) \(\frac{x}{\sqrt{0,4x+8}}\)?

1) \(\sqrt{6x — 24}\).
Данное выражение имеет смысл, если подкоренное выражение принимает неотрицательные значения:
\(6x — 24 \geq 0\)
\(6x \geq 24\) \(| : 6\)
\(x \geq 4\).
Ответ: при \(x \geq 4\).

2) \(\sqrt{1 — 8x}\).
Данное выражение имеет смысл, если подкоренное выражение принимает неотрицательные значения:
\(1 — 8x \geq 0\)
\(-8x \geq -1\) \(| : (-8)\)
\(x \leq \frac{1}{8}\).
Ответ: при \(x \leq \frac{1}{8}\).

3) \(\frac{6}{\sqrt{-3x — 9}}\).
Данное выражение имеет смысл, если подкоренное выражение принимает положительные значения:
\(-3x — 9 > 0\)
\(-3x > 9\) \(| : (-3)\)
\(x < -3\).
Ответ: при \(x < -3\).

4) \(\frac{x}{\sqrt{0,4x + 8}}\).
Данное выражение имеет смысл, если подкоренное выражение принимает положительные значения:
\(0,4x + 8 > 0\)
\(0,4x > -8\) \(| : 0,4\)
\(x > -20\).
Ответ: при \(x > -20\).

1)
Рассмотрим выражение \(\sqrt{6x — 24}\). Чтобы радикал \(\sqrt{6x — 24}\) имел смысл, подкоренное выражение, то есть то, что стоит под знаком корня, должно быть неотрицательным, поскольку квадратный корень из отрицательного числа в области действительных чисел не определён.
Запишем это условие: \(6x — 24 \geq 0\). Это неравенство означает, что разность \(6x\) и \(24\) должна быть больше либо равна нулю. Для решения данного неравенства нужно перенести \(24\) вправо, получаем: \(6x \geq 24\). Теперь обе стороны можно разделить на \(6\), чтобы получить значение \(x\): \(x \geq \frac{24}{6}\). После деления получаем: \(x \geq 4\).
Таким образом, выражение \(\sqrt{6x — 24}\) имеет смысл только при тех значениях переменной \(x\), которые удовлетворяют неравенству \(x \geq 4\). Если \(x\) меньше \(4\), то подкоренное выражение становится отрицательным, а корень из отрицательного числа не существует в действительных числах. Ответ: при \(x \geq 4\).

2)
Рассмотрим выражение \(\sqrt{1 — 8x}\). Здесь также требуется, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, иначе корень не имеет смысла. Запишем условие: \(1 — 8x \geq 0\). Это неравенство показывает, что если из единицы вычесть произведение восьми на \(x\), результат должен быть больше либо равен нулю.
Переносим \(8x\) вправо: \(1 \geq 8x\). Далее делим обе части на \(8\), чтобы выразить \(x\): \(\frac{1}{8} \geq x\), или, что то же самое, \(x \leq \frac{1}{8}\).
Итак, выражение \(\sqrt{1 — 8x}\) имеет смысл только при таких значениях \(x\), которые не превышают \(\frac{1}{8}\). Если \(x\) больше \(\frac{1}{8}\), подкоренное выражение становится отрицательным, а корень из отрицательного числа не существует в действительных числах. Ответ: при \(x \leq \frac{1}{8}\).

3)
Рассмотрим выражение \(\frac{6}{\sqrt{-3x — 9}}\). В данном случае знаменатель содержит квадратный корень, и чтобы дробь была определена, необходимо выполнение двух условий: знаменатель не должен быть равен нулю, а также подкоренное выражение должно быть положительным, поскольку корень из нуля равен нулю, а деление на ноль невозможно.
Запишем условие: \(-3x — 9 > 0\). Это неравенство показывает, что выражение \(-3x — 9\) должно быть строго больше нуля. Переносим \(9\) вправо: \(-3x > 9\). Теперь обе стороны делим на \(-3\), не забывая поменять знак неравенства, потому что деление на отрицательное число меняет направление неравенства: \(x < -3\).
Таким образом, выражение \(\frac{6}{\sqrt{-3x — 9}}\) имеет смысл только при тех значениях \(x\), которые строго меньше \(-3\). Если \(x\) больше либо равен \(-3\), то либо подкоренное выражение становится не положительным, либо знаменатель равен нулю, что недопустимо. Ответ: при \(x < -3\).

4)
Рассмотрим выражение \(\frac{x}{\sqrt{0,4x + 8}}\). Здесь также в знаменателе стоит квадратный корень, поэтому требуется, чтобы подкоренное выражение было строго положительным, потому что делить на ноль нельзя, а корень из отрицательного числа не существует в области действительных чисел.
Запишем условие: \(0,4x + 8 > 0\). Это неравенство означает, что сумма \(0,4x\) и \(8\) должна быть больше нуля. Переносим \(8\) вправо: \(0,4x > -8\). Теперь делим обе стороны на \(0,4\), чтобы выразить \(x\): \(x > \frac{-8}{0,4}\). После деления получаем: \(x > -20\).
Следовательно, выражение \(\frac{x}{\sqrt{0,4x + 8}}\) имеет смысл только при тех значениях \(x\), которые строго больше \(-20\). Если \(x\) меньше либо равен \(-20\), то либо знаменатель становится равным нулю, либо выражение под корнем отрицательно, что невозможно для действительных чисел. Ответ: при \(x > -20\).